数学について質問です。

数学について質問です。 △ABCの辺BC上に頂点とは異なる点Dと取り、∠ADB, ∠ADCの二等分線がAB,ACと交わる点をそれぞれE, Fとすると、AD, BF, CEは一点で交わることを証明せよ。 という問題で、DE、DFはそれぞれ∠ADB、∠ADCの二等分線であるから、 DB分のDA=EB分のAE , DA分のDC=FA分のCF ゆえにEB分のAE・DC分のBD・FA分のCF = DB分のDA・DC分のBD・DA分のDC =1 よってチェバの定理の逆によりAD、BF,CEは一点で交わる。 ←チェバの定理はわかるのですが、逆とはなんですか? それと、AD, BF, CEは一点で交わることを証明しないといけないのにチェバの定理には BF, CEは一切入ってません。 なぜ証明できたのですか?

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まずチェバの定理の説明から書くと書きやすいのでそこから書きたいと思います △ABCの頂点A,B,Cと、この三角形の辺上にもその延長線上にもない点Oを結ぶ各直線が、大変またはその延長とそれぞれ点P,Q,Rで交わるとき、次の等式が成り立つ PC分のBP×QA分のCQ×RB分のAR=1(以後式①) これがチェバの定理です 続いて逆についてです △ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長上に、それぞれ点P,Q,Rがあり、この三点のうち、一個または三個が辺上の点であるとする。この時、BQとCRが交わり、かつ式①が成り立つならば 3直線AP,BQ,CRは一転で交わる。 というものです つまり式①が成り立てば三辺は一点で交わるということです 質問ではEB分のAE×DC分のBD×FA分のCF という式が成り立ってます これは式①の英語を変えただけで実質的にはかわってませんから 三辺が一点で交わることが証明されます もう一つの質問AD,BF,CEは一点で交わることを証明しないといけないのにチェバの定理にBF、CEが入っていないことですが さっきも書いた通り、式①が成り立っていれば大丈夫です 正確には式①が成り立っている=EC,FB、ADが一点で交わっている ということになってます わかりづらくて申し訳ありません わかりにくい、わからない点があれば追記してください

ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございました

お礼日時:2012/1/19 21:13