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斜交座標系ベクトルの内積の定義の仕方について質問です。

kik********さん

2012/2/2820:56:02

斜交座標系ベクトルの内積の定義の仕方について質問です。

x軸y軸が直交しているときのベクトルの成分の内積はわかるのですが、
もし
軸が直交していなかった場合はベクトルの成分の内積はどのように定義されるのでしょうか。
やはり交わる角度によって変わってきますよね。
内積をどのように定義していけばいいのか教えてください。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

cli********さん

2012/2/2907:02:50

過去質から高校生であるとして回答します。(大学以上では内積はより自由に定義できます。)
以下では、直交座標系における従来の内積と同じものを斜交座標系で定義します。

斜交座標の座標軸の為す角をθとします。斜交座標(x,y)から直交座標(x',y')に変換します。見づらいかもしれませんが、直交座標にはダッシュ(')を付けています。
x' = x + y*cosθ … (1)
y' = y*sinθ … (2)
(注:*は積の記号を表しています)

ベクトルの対応として
斜交座標系←→直交座標系
(x_1,y_1) ←→ (x'_1,y'_1)
(x_2,y_2) ←→ (x'_2,y'_2)
とします。
直交座標系のベクトル(x'_1,y'_1)と(x'_2,y'_2)の内積は
x'_1*x'_2 + y'_1*y'_2
(1),(2)の変換の式を使って、斜交座標系のベクトルで表すと
x'_1*x'_2 + y'_1*y'_2
= (x_1 + y_1*cosθ) (x_2 + y_2*cosθ) + (y_1*sinθ) (y_2*sinθ)
= x_1*x_2 + (x_1*y_2 + x_2*y_1) cosθ + y_1*y_2*(cosθ)^2 + y_1*y_2*(sinθ)^2
= x_1*x_2 + (x_1*y_2 + x_2*y_1) cosθ + y_1*y_2

すなわち、斜交座標系のベクトル(x_1,y_1)と(x_2,y_2)の内積の定義として
x_1*x_2 + (x_1*y_2 + x_2*y_1) cosθ + y_1*y_2
θ=π/2=90度 (直角) のときに、おなじみの内積の定義と同じになります。

質問した人からのコメント

2012/3/5 13:15:33

ありがとうございました。
これから行列やベクトルをもっと勉強してしっかり使えるようにしていきます。

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