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・正四面体ねじれの位置にある線分の最短距離に関する自新作入試レベル問題です。

atu********さん

2012/3/1900:18:43

・正四面体ねじれの位置にある線分の最短距離に関する自新作入試レベル問題です。

【問題】
一辺の長さ1の正四面体OABCの辺ABをt:1-tに内分する点をDとします。
線分ODと辺BCの最短距離である線分が、内接球によって切りとられる線分の長さをtであらわしてください。


計算が煩雑になって諦めました。
ご教示ください。

補足iiiiivvvvvxxxxxvvvvviiiiiさんありがとうございます。u=(2t^2-t+2)/(3t^2-4t+4)、v=(3t-2)/4(t-1)で、その後、後先考えず計算していった結果は計算間違いで2時間近く棒に振りましたが、約分が多く、KH={t(1-t)/(3t^2-4t+4)}BA+{-t/(3t^2-4t+4)}BO+{-t/(3t^2-4t+4)}BC、求める長さは、2√[(1/24)-(t^2+2){t/(3t^2-4t+4)}^2]になりました。助かりました。

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iii********さん

編集あり2012/3/1919:51:20

最短距離線分の長さをtで表すところまでは行ったのですが、それから先は計算が複雑すぎて無謀だと判断しました。
最短距離線分の長さを求めた後は、方針のみ示します。
※ベクトルによる解答です。

OD上にあって、OP:PD=s:1-sを満たす点をPとします。
またPからBCに下した垂線の足をQとおき、CQ:QB=u:1-uとします。
いま、線分PQが最短距離線分であるとし、sとuをtを用いて表すことを目指します。
まず、BP↑=s(1-t)BA↑+(1-s)BO↑、BQ↑=(1-u)BC↑から
QP↑=s(1-t)BA↑+(1-s)BO↑-(1-u)BC↑
QP↑・BC↑=0より、
BC↑・{s(1-t)BA↑+(1-s)BO↑-(1-u)BC↑}=0
∴u=(st+1)/2
次に、|PQ↑|^2
=(1-t)^2s^2+(1-t)s(1-s)-(1-t)s(1-u)+(1-s)^2-(1-s)(1-u)+(1-u)^2
=・・・・・(気絶しそうなほど大変な計算)・・・・・
={(3/4)t^2-t+1}{s-((t+2)/(3t^2-4t+4))}^2+{(2t^2-4t+2)/(3t^2-4t+4)}
すなわちs=(t+2)/(3t^2-4t+4)であり、最短距離線分の長さは、√{(2t^2-4t+2)/(3t^2-4t+4)}
【ためしにt=0, t=1を代入してみてください。t=0のとき最短距離線分の長さ√2/2, t=1のとき0となって、確かに一致することがわかると思います】
次に内接円の中心をKとし、KからPQに下した垂線の足をHとします。
また、PH↑=vPQ↑とおきます。KH↑=KP↑+vPQ↑
KH↑・PQ↑=0より、
PQ↑・{KP↑+vPQ↑}=0
(2t^2-4t+2)v/(3t^2-4t+4)=PQ↑・PK↑
=PQ↑・(PQ↑+QK↑)=(2t^2-4t+2)/(3t^2-4t+4)-QP↑・QK↑
v=1-{(3t^3-4t+4)/(2t^2-4t+2)}{s(1-t)BA↑+(1-s)BO↑-(1-u)BC↑}・{(1/4)BA↑+(1/4)BO↑+(u-(3/4))BC↑}=・・・・・
こうしてvが求まります。
KH↑=KO↑+OP↑+vPQ↑より、KH↑がBA↑、BO↑、BC↑で表せ、
|KH↑|^2が計算できます。
求める長さは、2√{(1/24)-|KH↑|^2}となります。

質問した人からのコメント

2012/3/20 01:13:40

iiiiivvvvvxxxxxvvvvviiiiiさん、お礼申し上げます。Bが起点でvが常套でしたか。私はOを起点で、s、u求めてその後は魑魅魍魎でした。ガイドのお蔭で曲がりなりにも求まり安堵したところです。やみくも計算反省しました。重ね重ね貴重なお時間を戴きましてありがとうございました。

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