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くじ引きの問題 (テーマ:くじ引きとは何か)

bqb********さん

2012/3/1919:06:13

くじ引きの問題 (テーマ:くじ引きとは何か)

12 本中 5 本が当たりであるくじ引きがあります。
まず、A さんが 4 本引き、続いて、B さんが、4 本引きます。
ただし、一度引いたくじは戻しません。
当たりくじを 1 本でも引けば「当たり」、1 本も引けなければ「はずれ」とします。

(1) A さんが「はずれ」の確率はいくらですか ?
(2) A さんが「当たり」で、B さんが「はずれ」の確率はいくらですか ?

4 本一度に引くのではなく、1 本ずつ最大 4 回まで引くことにし、当たりが出た時点でそれ以降は引かないことにします。A さんのトライが終わった後、くじを戻さずに、続けて B さんが、同じことをします。

(3) A さんが「当たり」で、B さんが「はずれ」の確率はいくらですか ?

自作です。興味のある方お願いします。
どのような解き方があるか知りたいので、途中経過もお願いします。

(実際に解いて、答えまで出した上での感想ももらえるとありがたいです。)

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ベストアンサーに選ばれた回答

osy********さん

2012/3/1923:10:08

(1) A さんが「はずれ」の確率はいくらですか ?
C(7,4)/C(12,4)=7/99

(2) A さんが「当たり」で、B さんが「はずれ」の確率はいくらですか ?
はずれは7本Bさんがはずれなら、Aさんは必ず当たりとなるので
Bさんがはずれとなる確率を求めればよい
これは(1)と同じになるので
7/99

(3)
Aさんが1回目に当たりを出しBさんははずれの場合
(5/12)・C(7,4)/C(11,4)・・・①

Aさんが2回目・・・
(7/12)・(5/11)・C(6,4)/C(10,4)・・・②

Aさんが3回目・・・
(7/12)・(6/11)・(5/10)・C(5,4)/C(9,4)・・・③

Aさんが4回目・・・
(7/12)・(6/11)・(5/10)・(5/9)・C(4,4)/C(8,4)・・・④

①+②+③+④=7/99

全て同じ答え
不思議なような、当たり前のような

確率的には、くじを引く順序によって条件が変わらなければ
引く順番によって当たる確率は変わらないので
(1)と(2)は同じになることは比較的当たり前のような感覚として
とらえられるのではないでしょうか。

ただ確率の問題を多く解いていると、どうしてもAの引いた当たりの本数について
場合わけをして計算したくなってしまうのではないでしょうか。

(3)Aさんが何回目で当たりを引くかにより、Bさんが引く前の枚数が違ってきて、
ますます場合わけをして計算したくなります。
しかし、Aさんが1枚目に当たりを引いた場合はBさんが引いたあとCさんが3枚ひいて
3人で8枚引いたと考える
Aさんが2枚目に当たりを引いたときはCさんは2枚というように考えれば、

Aさんが4枚、Aさん以外が4枚
Aさんがはずれれば、Aさん以外は必ず当たるので
(2)とまったく同じになります。

場合わけできるデータがあるため惑わされますが、
くじを引く順番によって確率が変わるとすれば
(1) A さんが「はずれ」の確率はいくらですか ?
の問題がだされたとき、Aさんのくじを引く順番に
場合わけしなければならないはずなのに、
普通そんなことは考えません。

(3)を場合わけしたのは、数学的テクニックの弊害??

質問した人からのコメント

2012/3/20 02:06:50

一安心 ありがとうございました。
知恵袋の回答を見ていると、結構数学が得意そうな人でも、
(2) でもくじ引きの法則を使わずに、場合分けしています。
「くじ引きの法則を証明」 という変な光景もよく見かけます。
(場合分けは証明ではなく別解でしかないと思うのです)
そんな疑問を持ったので、問題を作ってみました。
(3) は考えさせられますね。
出題の意図を完璧に汲んで、コメントもありがとうございました。

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