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arcsinX + arccosX = π/2の証明について

yuu********さん

2012/4/1621:50:50

arcsinX + arccosX = π/2の証明について

x∈[-1,1]とし、θ=arcsinxとする
から始まる証明方法で、
なぜ最初からsinθ=x と書かないのでしょうか?


それから逆関数を取り扱うときに、定義域と値域を決めますが、
例えば x∈[-1,1]とし、θ=arcsinxとする と書いてあったら、それは基本的にもとの関数のxということでいいのでしょうか?それともその後にすぐでてくる関数(ここではθ=arcsinx)のxでしょうか?

回答よろしくお願いします。

補足わかりやすい回答ありがとうございます(^^)
気になったことだけ、もう一度質問させて下さい。
八行目のθの範囲は-π≦θ≦πではなく、-π/2≦θ≦π/2ではないでしょうか?
それから言葉で言い換えてくれたところの文は、斜辺を1として、θがある値X(X∈[-1,1])がsinθの値となる角度であり、かつ同時にφがXがcosφの値となる角度であるならば、ということでしょうか?
こちらの理解不足だったらごめんなさい。

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ima********さん

編集あり2012/4/2216:31:08

「x∈[-1,1]とし、θ=arcsinxとする」とい文章は、問題に含まれていない、θという文字を定義しているのです。証明の都合上必要なものを新たに定義するので、θ=・・・という書き方をしています。
sinθ=x とかくと、xは自動的にx∈[-1,1]となりますが、(つまりxの値域が決まってしまう)、
θ=3πと言うのも含まれてしまいます。それでは困るので、θ=arcsinxとまず書いたのです。
θ=arcsinxとかくと、arcsinxという関数の定義により、θの値は-π≦θ≦πということは書かなくても決まります。その代わり、この関数が意味を持つためにはxの定義域が問題になるから、x∈[-1,1]と書くのです。
ということを前提として、この証明を考えるとき、
まず、arcsinX + arccosX の値が存在するためには、Xの定義域を決めないと証明ができません。言い換えると、X>1、X<-1ではこの式は成り立たない(そのようarcsinXという値が存在しない)からです。
つまり、「x∈[-1,1]とし、θ=arcsinxとする」と書けば、この場合はθについては何も言う必要がなくなるのです。
蛇足ですが、
この問題は言葉で言い換えると、ある値X(X∈[-1,1])がsinθの値となる角度であり、かつ同時にcosφの値となる角度であるならば、θ+φ=π/2である、ということを示しています。直角三角形の直角以外の2つの角度は足せば直角になる、という関係のことです。

補足
失礼しました。ご指摘通り、私の間違いです。
-π≦θ≦πではなく、-π/2≦θ≦π/2です。
補足の後半部分
2つの角度θとφがあって、sinθ=cosφ=Xとなるとき、各々の逆関数を考えると、
θ=arcxsinX、φ=arccosXとなりますが、
このとき、θ+φ=π/2であるというのは、
直角三角形の直角以外の角をθとφとして考えるとsinθ=cosφだから、上記の条件に一致しているので、
θ+φ=π/2は至極当然のことと思える、と言いたかったのです。

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