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極限値の求め方について教えてください。

ich********さん

2012/5/523:17:03

極限値の求め方について教えてください。

lim[x→π/2] (π-2x)tanx

この極限値を求めたいのですが、よくわかりません。
tanπ/2になってしまい、わからなくなってしまいました。
何かをtに置き換えたいのですが、どのようにすればよいのでしょうか。

勉強不足で申し訳ないのですが、ヒントをくださるとうれしいです。
どなたか詳しい方がおられましたら、ご教示お願いいたします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

θ=π-2xとおきますね。(^^♪
.
x→π/2のとき、θ→0
.
x=π/2-x/2
.
(π-2x)tanx
.
=θtan(π/2-θ/2)
.
=θsin(π/2-θ/2)/cos(π/2-θ/2)
.
=θcos(θ/2)/sin(θ/2)

質問した人からのコメント

2012/5/5 23:44:26

たくさんの回答ありがとうございます!!
ようやく答えを出すことができました。
ロピタルの定理を用いた方法にも挑戦してみたいと思います。

ベストアンサー以外の回答

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n_z********さん

2012/5/523:35:11

lim[θ→0] sinθ/θ=1、lim[θ→0] θ/sinθ=1を利用したいので
x→π/2のときθ→0となるように
θ=x-π/2、θ=π/2-x、θ=2x-π、θ=π-2x
のような置き換えをします。

θ=π/2-xとおくと、x→π/2のときθ→0なので
lim[x→π/2] (π-2x)tanx
=lim[θ→0] 2θtan(π/2-θ)
=lim[θ→0] 2θ(1/tanθ)
=2lim[θ→0] (θ/sinθ)cosθ
=2・1・1
=2 ・・・(答)

pgs********さん

2012/5/523:33:59

ロピタルの定理が簡単でしょう。

与式=lim[x→π/2] (π-2x)tanx=lim[x→π/2] (π-2x)sinx/cosx

ここで、x=π/2のとき、(π-2x)sinx=0、cosx=0ですから

与式=lim[x→π/2] {-2sinx+(π-2x)cosx}/(-sinx)=-2/(-1)=2

となります。

gam********さん

2012/5/523:23:48

まず、tanの定義:tanx=sinx/cosx を用います。次に x- π/2=t と置き換え、tに関する極限に置き換えます。あとは、t→0 での cost、t/sint の極限値注意すればできます。

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