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次の微分方程式の問題がわかりません。 x=Asinωt+Bcosωtから導かれる微分方程式を...

tom********さん

2012/5/1413:00:02

次の微分方程式の問題がわかりません。
x=Asinωt+Bcosωtから導かれる微分方程式をもとめよ。
解き方も書いてもらえるとありがたいです。

補足ありがとうございます。すいませんが、x=At+Be^tも教えてもらえませんか?x=At+Be^t+Cならわかるのですが。

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ベストアンサーに選ばれた回答

x=A・sin(ωt)+B・cos(ωt)
.
両辺を、tで微分すると、
.
dx/dt=A・cos(ωt)・(ωt)'+B・{-sin(ωt)}・(ωt)'
.
dx/dt=A・cos(ωt)・ω-B・sin(ωt)・ω
.
dx/dt=ω{A・cos(ωt)-B・sin(ωt)}
.
さらに、両辺を、tで微分すると、
.
d^2x/dt^2=ω[A・{-sin(ωt)}・(ωt)'-B・cos(ωt)・(ωt)'}
.
d^2x/dt^2=ω{-A・sin(ωt)・ω-B・cos(ωt)・ω}
.
d^2x/dt^2=-ω^2{A・sin(ωt)+B・cos(ωt)}
.
元の関数が現れて、
.
d^2x/dt^2+ω^2x=0
.
となります。
.
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.
.
.
補足に対する回答です。(^^♪
.
x=A・t+B・e^t …(ア)
.
両辺を、tで微分すると、
.
dx/dt=A+B・e^t …(イ)
.
さらに、両辺を、tで微分すると、
.
d^2/dt^2=B・e^t …(ウ)
.
(ア)と(イ)に、(ウ)を代入して、
.
x=A・t+d^2/dt^2 …(エ)
.
dx/dt=A+d^2/dt^2 …(オ)
.
(エ)-(オ)×tより、
.
x-t・(dx/dt)=(1-t)・(d^2x/dt^2)
.
(t-1)・(d^2x/dt^2)-t・(dx/dt)+x=0
.
.
.
.
.
検算用サイトです。
.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28t-1%29*%28d%5E2x%2Fdt%5E2%2...
.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%5E2x%2Fdt%5E2%2Bk%5E2*x%3D0

質問した人からのコメント

2012/5/15 15:55:24

降参 ありがとうございます。助かりました。

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