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高校 数学 ユークリッドの互除法を用いて不定方程式の特殊解を求めよ。という問題...

nik********さん

2012/10/323:42:12

高校 数学
ユークリッドの互除法を用いて不定方程式の特殊解を求めよ。という問題です。17x-24y=2
解説つきでお願いします!

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ベストアンサーに選ばれた回答

shi********さん

2012/10/400:48:41

17=24-7⇔7=24-17
24=3*7+3⇔3=24-3*7
7=3*2+1⇔1=7-3*2
より

1=(24-17)-(24-3*(24-17))*2=17*(-7)-24*(-5)
∴17*(-14)-24*(-10)=2

よって、求める特殊解の一つは(x,y)=(-14,-10)・・・(答)

一応一般解の導出もやっておきます。

17x-24y=2 ・・・➀
17*(-14)-24*(-10)=2 ・・・➁

➀-➁により

17(x+14)-24(y+10)=0
⇔17(x+14)=24(y+10)

x+14∈Z,y+10∈Zより、
x+14=24n (n∈Z)と表せる。
このとき
x=24n-14

17*24n=24(y+10)
∴y=17n-10

よって一般解は
(x,y)=(24n-14,17n-10)・・・(答)

質問した人からのコメント

2012/10/4 00:51:51

降参 わかりやすかったのでベストアンサーに選ばせていただきました!ありがとうございます!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

charlie04hfさん

2012/10/400:49:28

nikkori_yts_mominokiさん
まずユークリッドの互除法で
24 ÷ 17 = 1 … 7
17 ÷ 7 = 2 … 3
7 ÷ 3 = 2 … 1
これを不定方程式 17x - 24y = 2 と対応させます。
17x - (17 + 7)y = 2 → 17(x - y) - 7y = 2
A = x - y と書くと (2×7 + 3)A - 7y = 2 → 7(2A - y) + 3A = 2
B = 2A - y と書くと (2×3 + 1)B + 3A = 2 → 3(2B + A) + B = 2
これを満足する一番単純な値は 2B + A = 0、B = 2
つまり2B + A = 5A - 2y = 5x - 7y = 0…(1)、
B = 2A - y = 2x - 3y = 2…(2)
この(1),(2)の連立方程式を解いて x = -14、y = -10
検算すると 17×(-14) - 24×(-10) = -238 + 240 = 2
ときちんと題意を満たしていますね。
理解しやすいように回りくどく書きました。

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