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実数値関数y(x)はR^2において調和かつ下に有界と仮定する。 このときα=inf{y(x) |...

sem********さん

2012/10/712:24:00

実数値関数y(x)はR^2において調和かつ下に有界と仮定する。
このときα=inf{y(x) | x∈R^2}とし、h(x)=y(x)-αとおく。

このとき、
ある点列{Zm}(m=1〜∞)∈R^2が存在してh(Zm)→0 (m→∞)である。

というのですが、このようなZmがとれるのは何故なのでしょうか?
y(x)が下に有界ということがポイントになるらしいのですが、理解できずにいます。

どなたか解説をよろしくお願い致します。

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mac********さん

2012/10/717:23:48

α∈Rなので
infの定義からy(x)≧α,
かつ
任意のmに対してy(x)<α+1/mとなるx∈R^2が存在する。

各mについてこのようなxを選び,Zmと置けばそこから得られる点列{Zm}に関して
0<y(Zm)-α=h(Zm)<1/m→0 (as m→∞)が成り立つ

質問した人からのコメント

2012/10/8 14:04:27

とても助かりました。
丁寧な回答ありがとうございます。

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