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{|x|/(1+|x|)}+{|y|/(1+|y|)}+{|z|/(1+|z|)}≧|x+y+z|/(1+|x+y+z|) が成立す...

aka********さん

2012/10/923:48:26

{|x|/(1+|x|)}+{|y|/(1+|y|)}+{|z|/(1+|z|)}≧|x+y+z|/(1+|x+y+z|)

が成立することを示せ
また等号成立はどんな場合か


解答お願いします

補足すいません。急いでいますのでなるべく早く回答していただけたら嬉しいです

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ベストアンサーに選ばれた回答

tak********さん

2012/10/1002:49:07

まず |x|/(1+|x|) + |y|/(1+|y|) ≧ |x+y|/(1+|x+y|) ...(*) を示します。

(左辺)-(右辺)を計算すると、
(分子) = |x|+|y|-|x+y|+(2+|x+y|)|xy|
(分母) = (1+|x|)(1+|y|)(1+|x+y|)
ここで三角不等式 |x+y|≦|x|+|y| を使うと、
(分子) ≧ 0+(2+|x+y|)|xy| ≧ 0
これで (*) が証明されました。第一の等号が成り立つのはxとyが同符号または一方が0のとき、第二の等号が成り立つのは xy=0 のときです。従って、等号が成立する条件は xy=0 です。

次に (*) の x,y をそれぞれ x+y, z に置き換えると、
|x+y|/(1+|x+y|) + |z|/(1+|z|) ≧ |x+y+z|/(1+|x+y+z|)
等号が成り立つのは (x+y)z=0 のときです。これと (*) を組み合わせると、
|x|/(1+|x|) + |y|/(1+|y|) + |z|/(1+|z|) ≧ |x+y+z|/(1+|x+y+z|)
等号は x,y,z のうち少なくとも2つが0であるとき、かつそのときに限って成り立ちます。

質問した人からのコメント

2012/10/14 23:29:09

分かりやすく説明していただきありがとうございました。
やっと解けました!

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