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1+1=2を出来るだけ難しそうな文章問題にして下さい。

kei********さん

2012/10/2711:58:50

1+1=2を出来るだけ難しそうな文章問題にして下さい。

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s12********さん

2012/10/2715:55:16

下記の定理Aがアーベル群において成り立たないことを示す簡潔な例を挙げよ。

【定理A】
まず、2つの生成元aとbから生成される自由群は4つの文字a、a'、b、b'からなる有限の長さを持つ文字列で構成する。
ここでaがa'の直後に現れるような文字列は許されない。bについても同様とする。
2つのこのような文字列があったとき、それらの積をそれらの文字列のをつなげたものと定義する。
ただし、「許されない文字列」が生じたときは、その部分を「空の文字列」で置き換えることで対処する。
例えばabab'a'とabab'aの積はabab'a'abab'aとなるが、これはa'aという「許されない文字列」を含むため、この部分を「空の文字列」で置き換えてabaab'aとなる。
このような文字列の集合はここで定義した演算によって、「空の文字列」を単位元eに持つ群になることが確かめられる。この群をF2と書く。
群F2は以下のようにして「パラドキシカルな分割」が可能である
S(a)をaで始まるF2の文字列全体の集合とする。S(a')、S(b)、S(b')についても同様である。
明らかに、
F2={e}∪S(a)∪S(a')∪S(b)∪S(b')
一方、S(a')の元の左にaをかけた文字列の全体をaS(a')とする。bS(b')についても同様とすると
F2=aS(a')∪S(a)
F2=bS(b')∪S(b)
次ぎに、
3次元空間の回転群でちょうどF2と同じように振る舞う(F2と同型な)群を見つけるために、直交する2つの軸、xおよびzをとる。
aでx軸を回転軸としたπの無理数倍の回転、bでz軸を回転軸としたπの無理数倍の回転を表すとする。
2つの回転a、bが操作の合成を積としてと同型になるのでaとbによって生成される回転群をHとする。
これにより、パラドキシカルな分割をHに対して適用することが出来る。
そして、
単位球面S2は群Hの作用を考えることにより軌道の集合に分けることが出来る。
すなわち、S2の2つの点は、一方の点を他方に移すような回転がHに存在するとき、またそのときに限り同じ軌道に属すると定める。
(ある点の軌道がS2の稠密集合になることに注意)。
選択公理を用いて、すべての軌道からちょうど1個の点を選んで新たな集合を作ることが出来る。
この集合をMとする。今S2のすべての点は、あるMの点に、あるHの元を作用させることによって得ることが出来る。
したがって、Hのパラドキシカルな分割は以下のようにS2の4つの部分集合A1,A2,A3,A4への分割を与える。
B=a'M∪a''M∪…とすると
A1=S(a)M∪M∪B
A2=S(a')M\B
A3=S(b)M
A4=S(b')M
球面を上記の4つの部分集合に分割したので、以下のように、これらのうち2つの集合を回転させることで最初の2倍の球面を得ることが出来る。
aA2=A2∪A3∪A4
bA4=A1∪A2∪A4
従って
A1∪aA2=S2
A3∪bA4=S2
最後に、
S2上のすべての点と原点とを結ぶ線分を考えると、S2の分割は自然に球から中心点を除いた集合の分割へと拡張される。
よって、球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。

↓バナッハ・タルスキーの逆理
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/student/btp/btp.html

質問した人からのコメント

2012/10/28 19:14:02

爆笑 解ける気になれないwww

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