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|a|−|b|≦|a+b|を証明したいです。よろしくお願いします。。

chi********さん

2012/11/620:30:19

|a|−|b|≦|a+b|を証明したいです。よろしくお願いします。。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tok********さん

2012/11/621:28:04

【解法Ⅰ】|a|+|b|≧|a+b|を用いる場合
|a|+|b|≧|a+b| ・・・(★)
(★)において,aの代わりにa+b,bの代わりに-bとおくと,
|a+b|+|-b|≧|(a+b)+(-b)|
すなわち,|a+b|+|b|≧|a|
∴ |a+b|≧|a|-|b|

【解法Ⅱ】
(ⅰ) |a|-|b|<0のとき,|a+b|≧0であるから,|a|-|b|<|a+b|は成り立つ。
(ⅱ) |a|-|b|≧0のとき,,|a|-|b|,|a+b|ともに負でないから,それぞれを2乗した
不等式「|a+b|^2≧(|a|-|b|)^2」をしめせばよい。両辺の差をとると,
|a+b|^2-(|a|-|b|)^2
=(a+b)^2-(|a|^2-2|a||b|+|b|^2)
=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2|ab|+b^2)
=2(ab-|ab|)≧0
したがって,|a+b|^2≧(|a|-|b|)^2
∴ |a+b|≧|a|-|b|

質問した人からのコメント

2012/11/7 16:29:47

ありがとうございます!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

cli********さん

2012/11/621:33:21

左辺<0 のときには 右辺≧0 だから
左辺<右辺

左辺≧0 のときには左辺と右辺を平方して
(右辺)^2-(左辺)^2
= |a+b|^2-(|a|-|b|)^2
= (a+b)^2-(|a|^2-2|a||b|+|b|^2)
= (a^2+2ab+b^2)-(a^2-2|ab|+b^2)
= 2ab+2|ab|
= 2(ab+|ab|)
-ab≦|ab| だから
0≦ab+|ab|
よって
0≦(右辺)^2-(左辺)^2
(左辺)^2≦(右辺)^2
両辺ともに負でないから
左辺≦右辺

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