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行列の問題

nat********さん

2013/2/1200:28:36

行列の問題

よろしくお願いします

行列,TS,3 1 2,C1NT,問題,TN,ケーリー・ハミルトン

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scs********さん

2013/2/1212:21:22

本格的な行列のn乗計算の問題です。
計算が面倒な上(3)は二項展開をする必要があり難しいと思います。



(1)与えられた条件より
ST=S^2+SN
TS=S^2+NS
となります。

するとSN=NSより
ST=TS=S^2+SN
が成り立ちます。

するとN^2=Oなので
T^2=S^2+N^2+2SN
=S^2+2SN
∴S^2=T^2-2SN
となります。

するとケーリー・ハミルトンの定理より
T^2-6T+9E=O
∴T^2=6T-9E
となります。

よって
ST=TS=S^2+SN
=T^2-2SN+SN
=6T-9E-SN
=6(2 -1)-9(1 0)-(-3 -3)
....(1..4).......(0 1)..(.3 ...3)
=(6 -3)
..(3 12)
となります。


(2)T^(-1)=(1/9)(4 1)
...........................(-1 2)
となるので(1)より
S=(6 -3)T^(-1)
....(3 12)
=(1/3)(2 -1)(4 1)
............(1.4)(-1 2)
=(3 0)
..(0 3)
となります。

よって
N=T-S
=(-1 -1)
..(1 ..1)
となります。


(3)N^2=Oなので
TN=SN=NS=NT
が成り立ちます。

するとN^2=OよりN^k=O(2≦k)となるので二項定理より
S^(n+1)=(T-N)^(n+1)
=T^(n+1)-(n+1)C1NT^n
=T^n{T-(n+1)N}
となります。

すると(2)よりS=3Eなので
S^(n+1)=3^(n+1)E
となります。

また
T-(n+1)N=(n+3 .....n)
...................(-n...-n+3)
となるので
det{T-(n+1)N}=-(n^2-9)+n^2=9
∴{T-(n+1)N}^(-1)
=(1/9)(-n+3 -n)
............(n......n+3)
となります。

よって
T^n=S^(n+1)・{T-(n+1)N}^(-1)
=3^(n-1)(-n+3 -n)
................(n......n+3)
となります。

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