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2元1次不定方程式

hut********さん

2013/3/218:14:20

2元1次不定方程式

1組の整数解を見つけることによって、次の1次不定方程式の全ての整数解を求めよ。

(1)4x-9y=1

(2)2x+5y=30

この問題で(1)はx=7,y=3を当てはめて解き、x=9n+7,y=4n+3(nは整数)、(2)はx=5,y=4を当てはめて解き、x=5n+5,y=−2n+4(nは整数)となったのですがあってますか?模範回答は当てはめたxとyの値が違い、答えも違うのですが、この問題は当てはめるxとyの値が違うと答えも変わるのですか?

補足そうすると、僕の答えはこれはこれで正解でいいんですよね?

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ベストアンサーに選ばれた回答

aut********さん

編集あり2013/3/220:58:39

> そうすると、僕の答えはこれはこれで正解でいいんですよね?

はい。正解です。


> この問題は当てはめるxとyの値が違うと答えも変わるのですか?

答えの式は変わりますね。でも答えの示す値の組み合わせは変わりません。

具体的に言ってみます。
あなたはx = 7, y = 3を解の一つとして求めたわけです。
そして、x = 9n + 7, y = 4n + 3を一般解として得ることが出来ました。……①

他の解としてx = -2, y = -1を元に一般解を作ってみると
x = 9n -2, y = 4n-1となります。……②
①と②で式の形は違いますよね。

でも、最初の式①のnをm-1と置き換えてみると、
x = 9(m-1) + 7 ⇒ 9m - 2
y = 4(m-1) + 3⇒ 4m - 1
となり、②と同じ形になることが分かります。

x = 7, y = 3という解は、式①ではn = 0の時の解で、式②ではn=1の時の解です。

だから、
n = …,-2, -1, 0, 1, 2, …
とあらゆる整数を代入するなら、①の表す解と、②の表す解の集合は同じになります。

2番目の問題もおんなじです。

質問した人からのコメント

2013/3/2 21:20:52

降参 ありがとうございました

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