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「a<bならばある実数c>0に対してa+c<bである」の対偶を述べ、証明せよ。 こ...

tib********さん

2013/4/1223:25:16

「a<bならばある実数c>0に対してa+c<bである」の対偶を述べ、証明せよ。

この問題を解いてほしいです。
頼みます!

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hir********さん

編集あり2013/4/1308:06:21

pならばqの対偶は、 not q ⇒ not pです。

なので、
not (ある実数c>0に対してa+c<bである) ⇒ not (a<b)
です。

それで、not (a < b)は言うまでもなくa≧bなのですが、
気をつけたいのが、前半の命題の否定の方です。

ある実数c > 0 に対してa + c < bであるという事は言い換えれば、
a + c < bとなるようなc(c>0)が存在するという事です。
これを否定するためには、すべての実数c > 0に対してa + c < bを満たすcは存在しないと言えれば良いわけです。
すなわち、すべての実数c > 0に対してa + c ≧ bとなります。

注:c ≦ 0は単にc > 0に対する否定です。文中の語句や式を逐次に否定に変えるのではありません。
それならば実数を非実数にかえねばなりませんねw
命題を否定形をするためにはその意味を捉え、それを否定しなければ
なりません。


よって、
「すべての実数c > 0に対して a + c ≧ b ならば a ≧ b」

証明:
a < bであると仮定する。
b = a + d(d>0)とおける。
c = d/2のとき、
a + d/2 ≧ a + d
⇔d≦0
d>0により矛盾。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nor********さん

編集あり2013/4/1223:48:42

対偶は
「すべてのc>0に対して a+c≧b ならば a≧bである」

a+c≧b より c≧b-a であり

{c|c>0}⊂{c|c≧b-a} を満たすためには

b-a≦0 でなければならない

∴a≧b 【証明終】


・・・対偶をとらないほうが簡単かも。

c=(b-a)/2 とすればよい で終わるから。

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