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TOF法についてお願いします!

ali********さん

2013/5/218:16:55

TOF法についてお願いします!

飛行時間測定法(TOF法)により光速の半分程度の中性子の速度を10%以内の精度で測定する場合、必要な飛行距離は何mか?ただしTOF検出器は時間分解能3nsのプラスチック検出器を使用する。
1、 5.0
2、 2.0
3、 1.0
4、 0.5
5、 0.2

という問題なのですが、解き方がいまいちわかりません。ご教授願います

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pla********さん

2013/5/310:07:07

速度は飛行距離を時間で割ればでます。飛行距離をL、速度をV、飛行時間をTとしますと当たり前ですが
V=L/T・・・①
です。これの誤差伝播の式は次のとおりです。σをばらつきとして
σv^2=(∂V/∂L)^2σl^2+(∂V/∂T)^2σt^2・・・②
これを①に適用します。
σv^2=(1/T)^2σl^2+(-L/T^2)^2σt^2・・・③
全体をV^2=L^2/T^2でわりますと
(σv/V)^2=(1/T^2)(σl^2)(T^2/L^2)+(L^2/T^4)(σt^2)(T^2/L^2)
(σv/V)^2=(σl/L)^2+(σt/T)^2・・・④
となります。つまり相対誤差は各々の変数の相対誤差の2乗の和を取って、それから平方根をとればよいです。ここで与えられた数字を見る限りσl/Lが十分小さいという保証はないです。0.2 mの場合、0.05 mの誤差があれば25%です。しかし5.0 mならば0.05 mの誤差で1%でこれは十分小さいと言えます。まずは④の右辺第一項を第二項に比べて無視して計算します。すると④は
σv/V=σt/T・・・⑤
左辺を0.1以下とするなら右辺が0.1以下です。つまり分解能3x10^-9 secの10倍以上の時間飛んでもらわないといけないことになります。
光速の半分のものが3x10^-8 secかけて飛ぶ距離は
1.5x10^8x3x10^-8=4.5 m・・・⑥
となります。飛行距離の測定誤差を無視した場合最低4.5 mの飛行が必要です。したがって答は5.0 mとなります。

なお光速の半分で5 mを飛行すると飛行時間は
5/1.5x10^8=3.33x10^-8 sec・・・⑦
ですからσt/Tは
3x10^-9/3.33x10^-8=0.09・・・⑧
です。5.0 mの距離に0.05 mの誤差があったとして相対誤差は1.0%ですから、これらを④に適用すると
(σv/V)^2=0.01^2+0.09^2=8.2x10^-3
σv/V=0.09・・・⑨
となり、10%以下の誤差になっています。

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