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A={(x,y):x^2+y^2<1} B={(1/n,0):n∈N} とR^2の部分集合A,Bを定める。 Aの内点、...

mas********さん

2013/5/2816:37:08

A={(x,y):x^2+y^2<1}
B={(1/n,0):n∈N}
とR^2の部分集合A,Bを定める。
Aの内点、外点、境界点、集積点、
触点の集合をそれぞれ求めよ。

解析学の問題なのですが回答が
わかる方、解説

お願いします。

補足Bも同様にお願いします。

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clickyさん

2013/5/2818:29:06

〔Aについて〕
・点pの適当なε>0を取れてε-近傍がAに含まれるように出来るとき、点pがAの内点であり
Aの内点全体 = A
・点pの適当なε>0を取れてε-近傍がAの点を含まないように出来るとき、点pがAの外点であり
Aの外点全体 = {(x,y);x^2+y^2>1}
・点pの任意のε>0にたいしてε-近傍がAの点およびAの補集合の点を含むとき、点pがAの境界点であり
Aの境界点全体 = {(x,y);x^2+y^2=1}
・点pの任意のε>0にたいしてε-近傍が点pを除外したAの点を含むとき、点pがAの集積点であり、集積点には内点と孤立点を除く境界点を含み
Aの集積点全体 = {(x,y);x^2+y^2≦1}
・点pの任意のε>0にたいしてε-近傍がAの点を含むとき、点pがAの触点であり、触点には集積点と孤立点を含む。Aの孤立点は存在しないから、この場合にはAの集積点全体に等しくて
Aの触点全体 = {(x,y);x^2+y^2≦1}

〔Bについて〕
(1) まず、点pの適当なε>0を取れて点pの近傍に点p以外にはBの点を含まないように出来るときにBの孤立点であるという。したがってBの点は孤立点のみである。孤立点は境界点であり集積点ではなく触点である。
(2) 次に、n→∞ のとき 1/n→0 であるから、点(0,0)の任意のε-近傍にはBの点が含まれていて、同時にBの補集合の点(-ε/2,0)も含むから、点(0,0)は境界点であり集積点であり触点である。
(3) そして、Bの点と点(0,0)を除いたR^2の部分集合の点は、その近傍にBの点を含まないようにできるから、Bの外点である。
(4) 内点は外点でなく境界点でない。
以上より
Bの内点全体 = 空集合
Bの外点全体 = R^2-(B∪{(0,0)}) … B∪{(0,0)}の補集合
Bの境界点全体 = B∪{(0,0)}
Bの集積点全体 = {(0,0)}
Bの触点全体 = B∪{(0,0)}

質問した人からのコメント

2013/5/29 04:42:29

降参 とても参考になりました。ありがとうございます!

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