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素数の逆数和について

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ID非公開さん

2013/6/1203:36:18

素数の逆数和について

以前にも同じ質問をしたものです。

素数の逆数和が整数でないことを示すにはどうすればいいのでしょうか??



そこで、

n番目の素数をpn, n番目までの素数の逆数和をSnとします。
S1は1/2ですね。

Snをan/bnと分数で表したとき、
a1 = 1
b1 = 2
です。


一般に、S(n+1)=an/bn + 1/p(n+1)
= (p(n+1) + bn)/(bn*p(n+1))
なので、
a(n+1) = p(n+1) + bn
b(n+1) = bn*p(n+1)
で,b(n+1)はn+1番目の素数までの積になりますが、
a(n+1)とb(n+1)は互いに素です。

理由を数学的帰納法で示します。

a1 b1は互いに素

an, bnが互いに素だとする。
a(n+1)とb(n+1)の互いに素ではない(1でない公約数がある)
と仮定して矛盾することを示す。

a(n+1)とb(n+1)の互いに素ではない場合、
b(n+1)はn+1番目までの素数の積だから、
n+1番目までのどれかの素数が公約数になる。

もし、n番目までの素数Pが公約数になっているとすると、
a(n+1)=p(n+1)+bnがPで割り切れることになるが、
bnがPの倍数であることから、p(n+1)がPで割り切れることになり、
素数であるp(n+1)がそれよりも小さい素数で割れることになり矛盾。

もし、n+1番目の素数p(n+1)が公約数になっているとすると、
a(n+1)=p(n+1)+bnのbnがp(n+1)で割り切れることになるが、
bnはn番目までの素数の積だから、n+1番目の素数で割り切れるはずはない。

したがって、a(n+1)とb(n+1)は互いに素。

したがって、帰納法の仮定から、
an/bnは常に約分できないから整数にならない。

という、回答を頂きました。

疑問点は、

、S(n+1)=an/bn + 1/p(n+1)
= (p(n+1) + bn)/(bn*p(n+1))

の部分ですが、通分すると、

(an*p(n+1) + bn)/(bn*p(n+1))

ではないのでしょうか??

またそうすると、そのあとの議論で支障ありませんでしょうか??

また、色んな回答を聞きたいので、再び質問させて頂きました。


http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1210832193...

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nf1828さん

2013/6/1209:46:17

まず1/2+1/3+1/5+1/7で考えてみます。
通分すれば分母は2・3・5・7で分子は
3・5・7+2・5・7+2・3・7+2・3・5
分子は第1項以外は2の倍数で第1項は2の倍数
ではないので分子は2の倍数ではない。
だから2で約分できないので整数ではない。

この証明は一般の場合でもそのまま成り立ちます。
それが前の質問でのt11235anogさんの回答です。
これで十分だと思います。

上記では2で約分できないと主張しましたが、全く
同様に3で(5で,7で)約分できないことも言えます。
即ち通分した分数は既約分数です。だからもちろん
整数ではありません。

skyper003さんの回答は最後の素数(上で言えば7)で
約分できないことを主張しているものですが、かなり
冗長な感じがします。t11235anogさんの回答程度で
十分だと思います。

>(an*p(n+1) + bn)/(bn*p(n+1))
>ではないのでしょうか??
>またそうすると、そのあとの議論で支障ありませんでしょうか??

確かに式変形は間違っています。
あとの議論で支障はありません。

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質問した人からのコメント

2013/6/18 04:33:26

降参 ありがとうございました。

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