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漸化式の質問です。

夏雲さん

2013/6/2420:14:08

漸化式の質問です。

初項から第n項までの和Snが、Sn=3-2an で与えられる数列{an}がある。次の問に答えよ。

問 数列{an}が満たす漸化式を作り、一般項anを求めよ。


解き方に、an+1=Sn+1-Sn
=(3-2an+1)-(3-2an)=-2an+1+2an

an+1=(2/3)^n-1

となっているのですが、最初のan+1=Sn+1-Sn
という意味からよくわかりません。
なぜこうなるのでしょうか。

そして
=(3-2an+1)-(3-2an)=-2an+1+2an

an+1=(2/3)^n-1

と書かれていたのですが、これもどのように求めたのかわかりません。

詳しい回答お願いします。

補足回答ありがとうございます。

a[n+1]=(2/3)a[n]……①

というのがなぜ等比数列とわかるのでしょうか。
すみませんがもう一度お願いいたします。

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編集あり2013/6/2421:29:18

補足から追記(2013.6.24)
ズバリ等比数列の定義そのものだからです。
等比数列とは次の項が前の項の一定倍となっている数列のことです。
第n+1項=実数×第n項……④
④のような式が導けたら、その数列は等比数列なのです。
④の式から等比数列の公式を導くことができます。
第2項=実数×第1項
第3項=実数×第2項
第4項=実数×第3項
第5項=実数×第4項
……これを第n項まで書きだして順次代入していけば、
第n項=第1項×実数^(n-1)……等比数列の一般項


S[n+1]は「初項から第n+1項までの和」を表しています。
そしてS[n]は定義どおり「初項から第n項までの和」です。
ならばS[n+1]からS[n]を引いたら。どうなるでしょう?
第n+1項だけが残ることになりませんか?そういう理屈です。
後半は等比数列の公式です。
a[n+1]=-2a[n+1]-2a[n]
3a[n+1]=2a[n]
a[n+1]=(2/3)a[n]……①
①からa[n]は公比2/3の等比数列といえます。
a[n]=a[1](2/3)^(n-1)……②
a[1]はS[n]=3-2a[n]より、n=1とすれば求まります。
a[1]=3-2a[1]
a[1]=1……③
あとは③を②に代入すればa[n]が求まります。
a[n]=(2/3)^(n-1)……答え

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