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素数が無限個であることの背理法による証明でですね。 まず素数が無限個である...

rihnhkrさん

2013/7/513:21:14

素数が無限個であることの背理法による証明でですね。

まず素数が無限個であることを否定、素数が有限個n個しかない
と仮定。

その素数をp1、p2、p3、p4・・・・pnとおく。これら全てを掛け合わせる。

さらに1加えた数を考え、それをAとおく、
A=p1×p2×・・・×pn+1

ここで質問です。
1ってどこから出てきた1です?そして何故1をたすのです?
そして何故p1×p2×・・・pnとかけるのですか?

補足私、理解が人一倍遅い(頭がかたい」)ので、具体的に説明願います。

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galois515さん

編集あり2013/7/611:13:03

1はp1からpnのすべての数と異なる数でそれらの数より小さいからです。
「aをbで割った商がq、余りがr」 ⇔ a=bq+r (0≦r<b)
と言う関係から
p1からpnのどの数で割っても余りが1になることをいえるからです

具体例
今、素数が2、3,5しかなかったとします。
2×3×5+1(=31になりますが)
これは2でわると1余ります
また3でわると1余ります。
また5でわると1余ります
(もし、+1でなく+2だったら2でわったとき余りが0になってしまいます。)

31は2でも3でも5でもわりきれない。すなわち、すべての素数で割れません。
つまり、割りきれる数がありません。合成数でないことになります。
合成数ではないつまり素数であり、31は2でも3でも5でもない新たな素数になります。
(なぜ、2と3と5をかけるのか。それは何でも良いから新しい素数を作りたいからです。5の次の素数は7だけど、順番に探したいのではないのです。作ることのできる新しい素数として31なのです)

すみません、専門的な言葉を使うので大学生と思ってしまいました。小学生としてはとてもよく勉強しているし、とても良い疑問の持ち方だと思います。これからもがんばってください。これだけのことを考えられるので計算問題をしっかり解くことをして土台を固めれば、いろんな理屈もわかるようになりますよ

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skyper003さん

2013/7/609:22:42

2の倍数があった時、その数に1を足すと2で割り切れなくなります。
3の倍数があった時、その数に1を足すと3で割り切れなくなります。
5の倍数があった時、その数に1を足すと5で割り切れなくなります。
……
ある数Xの倍数があった時、その数に1を足すとXで割り切れなくなります。

どんな数の倍数でも1をたすとこうなります。

-------------------------

2×3は2の倍数です。3の倍数でもあります。
2×3×5は2の倍数です。3の倍数でもあります。5の倍数でもあります。
2×3×5×7は2の倍数です。3の倍数でもあります。5の倍数でもあります。7の倍数でもあります。
……
p1×p2×・・・×pnはp1の倍数です。p2の倍数でもあります。…。pnの倍数でもあります。

-------------------------
最初に述べた「+1」の話の通り

2×3+1は、2の倍数ではありません。3の倍数でもありません。
2×3×5+1は、2の倍数ではありません。3の倍数でもありません。5の倍数でもありません。
2×3×5×7+1は、2の倍数ではありません。3の倍数でもありません。5の倍数でもありません。7の倍数でもありません。
……
p1×p2×・・・×pn+1はp1の倍数ではありません。p2の倍数でもありません。…。pnの倍数でもありません。

と言うことです。

-------------------------

これらの事から、
もし、素数がp1, p2 ...pnしかないとすると、
p1×p2×・・・×pn+1はp1でもp2でも ...pnでも割り切れない数になります。
つまり、この数は知られているいかなる素数でも割り切れないことになるのだから、
新しい素数と言う事になってしまいますよ。
変ですよね?

と言う論理です。

編集あり2013/7/513:56:03

1は、背理法で素数が有限個ある、とした仮定を崩そうと、
颯爽と登場した勇者です。

有限個の素数たちが全て掛け合わさって合体した
p1×p2×・・・×pn
を、たった"+1"で打ち崩すことができてしまいます。

何故かと言って、p1で割っても1余るし、
p2で割っても1余るし、
・・・
pnで割っても1余る。
つまり、全ての素数たちで割り切ることのできない数です。
素数以外の何物でもありませんね。


補足

素数の定義は理解されておりますでしょうか?
1と自身でしか割り切ることができない数を素数と言います。
p1×p2×・・・×pn
という数は、
p1でも割り切れるし、p2でも割り切れるし、
p1×p2でも、p3×p103×p2×・・・でも割り切れるし、
p1~pnまでの素数の積で表される全ての数で割り切れます。
全然素数じゃありません。

これに、たった1を加えるだけで、
ほかのどんな数でも割り切れなくなるのですよ。

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