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下記の問題が分かりません。

mat********さん

2007/4/2401:18:30

下記の問題が分かりません。

f:A→B、g:B→Cについて示せ。
①g、f:全射⇒g・f:全射
②g、f:単射⇒g・f:単射
③g・f:全射⇒g:全射
④g・f:全射⇒×f:全射(反例を構成せよ)
⑤g・f:単射⇒f:単射
⑥g・f:単射⇒×g:単射(反例を構成せよ)

判る方がいましたら教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

cli********さん

2007/4/2407:07:02

① g、fは全射 ⇒ g・fは全射
f:X→Y、g:Y→Zのとき、gとfは全射であれば
f(X)=Y、g(Y)=Z ____________ 注 f(X)はfの像、Im(f)とも表す。
から
g(f(X))=Zであり、g・f(X)=Z であるから g・fは全射

② g、fは単射 ⇒ g・fは単射
gとfは単射ならば
任意のx1,x2でx1≠x2のとき f(x1)≠f(x2)、任意のy1,y2でy1≠y2のときg(y1)≠g(y2)であるから
明らかに、任意のx1,x2でx1≠x2のとき g・f(x1)≠g・f(x1) となり g・fは単射

③ g・fは全射 ⇒ gは全射
g・fは全射ならば
g・f:X→Zのとき g(f(X))=Zということだから
g:f(X)→Zという写像gは全射である。

④ g・fは全射 ⇒ × fは全射 (反例を構成せよ)
xの2次関数f(x)=x^2 の値域は0または正だから、写像としてのf:R→R(Rは実数全体)は全射ではない。
gを1次関数g(y)=y とすると、A={y|y≧0}においては写像としてのg:A→Aは全射である。g(A)=A。
このとき、g・f:R→Aは全射である。

⑤ g・fは単射 ⇒ fは単射
対偶「fは単射でない ⇒ g・fは単射でない」を証明する。
fは単射でないならば
あるx1,x2がx1≠x2のとき f(x1)=f(x2)であり、g(f(x1))=g(f(x2))である。
つまり、あるx1,x2がx1≠x2のとき g・f(x1)=g・f(x2)だから、g・fは単射でない。

⑥ g・fは単射 ⇒ × gは単射 (反例を構成せよ)
fを1次関数f(x)=x、gを2次関数f(y)=y^2とする。
写像としてg:R→R(Rは実数全体)は単射ではない。
A={x|x≧0}において写像としてのg・f:A→Aは単射である。

質問した人からのコメント

2007/4/28 12:14:12

降参 ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2007/4/2401:25:14

さっぱりワカリマセン!!!寝て、明日考えたほうがいいカモね!

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