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広島大学理学研究科数学専攻修士課程平成22年度2次募集の入試問題[3]からです。 ...

kon********さん

2013/11/913:27:00

広島大学理学研究科数学専攻修士課程平成22年度2次募集の入試問題[3]からです。

[問題]X,Yを位相空間,写像f:X→Yに対し,
Γf={(x,f(x))|x∈X},
により,X×Yの直積位相空間の部分集合Γfと定義する。次の問いに答えよ。
(1)Yをハウスドルフ空間のとき,fが連続ならば,Γfは閉集合であることを示せ。
(2)fが連続のとき,Γfは閉集合とならない例を挙げよ。

[解答](1)Γfが閉集合⇔Γf^cが開集合であることを示せばいい。
Yがハウスドルフ空間だから,∀y1,y2∈Y(y1≠y2)に対し∃U(y1),U(y2)∈Oし,U(y1)∩U(y2)=φである。…①
ここで例えば,x1=f^(-1)(y1),x2=f^(-1)(y2)を通るとする。
すると,(x2,y1)∈Γf^cが取れる。
示すことは,V((x2,y1))⊂Γf^cである。…②
(x2,a)∈V((x2,y1))に対して,…③
V((x2,y1))=(x2,U(y1))…
[質問]③以降が進め方がわかりません。どうやるのでしょうか?

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編集あり2013/11/1001:46:53

(1)
(x, y)を(Γf)^cの任意の元とします。
f(x)≠yで、Yはハウスドルフ空間だから
f(x)∈U', y∈V', U'∩V'=空集合 を満たすYの開集合U', V'が存在します。
すると、(x, y)∈f^(-1)(U')×V'で、
fは連続写像だからf^(-1)(U)はXの開集合なので、f^(-1)(U')×V'はX×Yの開集合です。

ここで、(f^(-1)(U')×V')∩Γf≠空集合と仮定すると
(x', f(x'))∈f^(-1)(U')×V'を満たすx'∈Xが存在します。
すると、x'∈f^(-1)(U')だからf(x')∈U'で、U'∩V'=空集合なので
f(x')/∈V'
しかし、f(x')∈V'なので、矛盾します。
よって、(f^(-1)(U')×V')∩Γf=空集合
すなわち、(f^(-1)(U')×V')⊂(Γf)^c

よって、(x, y)は(Γf)^cの内点です。

したがって、(Γf)^cは開集合となるので、Γfは閉集合です。

(注)「/∈」は「∈」の否定で「属さない」を表わしています。


--------------------------------------------------
【追記】

(2)
Xの元が2個以上で、X, Yがともに密着位相のときは
Γf≠空集合,X×Yで、X×Yの閉集合は空集合とX×Yだけなので
Γfは閉集合ではありません。

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ベストアンサー以外の回答

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nar********さん

2013/11/923:49:40

(2)
X=[0,1]
位相は普通のRの相対位相

Y=[0,1]∪{2}
位相は{U∩Y : UはRの開集合で、2を含まないか、2を含む場合は1も含む}

f(x)=xとおくと、fは連続で、Γfの閉包に、Γfの元ではない(1,2)が含まれる
のでΓfはX×Yの閉集合ではない。

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