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有限フーリエ級数について

ker********さん

2013/12/822:16:58

有限フーリエ級数について

連続アナログ量を有限区間(0、T)においてN個の離散点でサンプリングするとフーリエ級数は

X(t)=ao/2+Σ[n=0~N-1]{a_n*cos(nwt)+b_n*sin(nwt)}

としてあらわされるようなのですが。なぜ和のとり方がn=0~N-1なのでしょうか?(質問1)通常のフーリエ級数ではn=1~∞だったと思います。(n=0はn=1の誤植ではないでしょうか?誤植が多い教科書なので汗)

さらにこの後の変形により、n=0~N/2に変化しています。これはなぜでしょうか(質問2)?

解説お願いいたします。<m(__)m>

補足anon_g1さん回答ありがとうございます。
非常に詳しく書いてくださったので理解しやすかったです。
よろしければN が偶数と奇数のときの取り扱いについて教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いしますm(__)m

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ano********さん

編集あり2013/12/1000:24:27

「n=0はn=1の誤植ではないでしょうか」→ その通りでしょう。
「通常のフーリエ級数ではn=1~∞だったと...」 → 有限の点しかないので、有限の次元しかありません。
(無限次元にはなりません。)

質問2は、何が書いてあるのかわからないので、これでは答えられません。

細かいことですが、区間は [0,T) ではないですか?
基本は、[0,T) 上のNこの標本点でサンプリングした量が
(X(t_0), X(t_1), ... , X(t_{N-1})) のように N 次元ベクトル空間になることです。
だから、この情報を表すのに、基底ベクトルが N 本あればよいのです。
t_n = nT/N (t_n を標本点) としたとき、その基底が e^(2πi k t_n/T) = ω^{kn} (k=0,1,...,N-1) です。
ただし、ω = e^{2πi/N} です。
ベクトルらしく上のように書くとu_k = (1, ω^k,ω^{2k} ... , ω^{(N-1)k})となります。
u_p と u_q の内積は
Σ_n ω^{-np} ω^{nq} = Σ_n ω^{(q-p)n} (Σの範囲は n:0,1,...,N-1)
となり、さらに q=p なら = n , q≠p なら (1- ω^{(q-p)N} )/(1- ω) = 0
となります. つまり、{u_n} n=0,1,...,N-1 は、直交基底になります。
短く Σ ω^{-np} ω^{nq} = n δ_{p,q} (δ_{p,q} はクロネッカーのδ) ともかけます。

考えるべき式は、k, n とも {0,1,...,N-1}の元として、
c_k = Σ_n ω^{-kn}X(t_n)
X(t_n) = (1/n) Σ_k c_k ω^{kn}
となります。この関係は、記号が混乱しないように、上の式の n を m に置換して、
下の式の右辺に代入すると、
(1/n) Σ_k Σ_m ω^{-km} X(t_m) ω^{kn}
となり、k,nの和の順序を交換して先にk で和をとると, Σ_m X(t_m) δ_{m,n}
となることから示せます。

この式を見ればわかるように、もともと t_n でのデータ以外は捨てたので、
逆変換で戻しても、X(t_n) しかでてきません。
ただ、ω^{kn} = e^{2πi k t_n /N} は、t_n → t とおくことで、[0,T) 上で滑らかな関数に拡張できるので、
そのように補間したような式が上の式だと考えることは可能です。ただし、等式ではなく、近似式です。
等号は、t=t_n のときにしか成り立ちません。

もちろん、実数の話におとすために、 e^{ix} = cos(x)+i sin(x) で変形する必要があります。
細かい話ですが、N が偶数と奇数では位相がπの点の取り扱いが変わります。

(補足に)
ω^{kn} = ω^{kn-Nn}=ω^{(k-N)n} という関係があります。
これを使って k>N/2 のときに ω^{(k-N)n} としてやると、k= N-1, N-2, ... , N-[N/2] の分は、
k = -1, -2, ... , -[N/2] と読み替えられます。ただし、[N/2] はガウス記号とします。
N が偶数のときは、ちょうど k = N/2 のときに位相がπとなり、k=-N/2 と k=N/2 は同じ点を指します。
よって、k=0 の点が特別扱いになるのと同様、k=N/2 も特別扱いしないといけません。
(Xが実数のデータだとして、c_0^* = c_0 から b_0 のデータがなくなるのと同様のことが、
k=N/2 でも起こる.)

(上の回答へ)
簡単にいうと、Nが偶数のとき、b_{N/2} は入れてはいけない、というのが、先に述べたことです。
sin((N/2) (2π/T)(nT/N)) = sin(nπ)=0 になるから、と言ってもいいです。
これは、b_0 をフーリエ級数展開に入れないことと同じです。

他の説明として、自由度の数を勘定するのも良い手です。
X(t_n) は R^N の自由度を持ちます。 a_{N/2} と b_{N/2} を両方入れてしまうと、
2 * (N/2) + 1 (+1 は a_0の分) で、次元の勘定が合いません。

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ベストアンサー以外の回答

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編集あり2013/12/1319:17:18

以下の説明で、
(質問2)と、(N=偶数、奇数の場合の取り扱い)への回答になると思う。

(1)有限区間(0、T)の連続アナログ量f(t)において、
N個の離散点でのサンプルによる離散フーリエ変換結果FnはN個。
Fnはnを正負に拡張するとN個毎繰り返す。

(2)nの取り方をn=0からn=N-1とすると、
F0は周波数0(定数)成分、
n=N/2のFnはナイキスト周波数(折り返し周波数)成分、
n=N/2+1 〜 n=N-1のFnはn=-N/2+1 〜 n=-1(負の)周波数成分を表す。

(3)離散フーリエ変換定義に、知恵ノート「離散フーリエ変換各種定義と…」
の定義(1)を使うと、
Fnは、有限区間(0、T)の関数f(t)の複素フーリエ係数Cn(n=-∞〜∞)の近似。


(4)Cnの近似として使えるのはナイキスト周波数(折り返し周波数)までなので、
使えるFnは、
(Nが偶数の場合)n=-N/2〜N/2のFn。
(Nが奇数の場合、小数点以下切捨て関数をfixとすると)n=-fix(N/2)〜fix(N/2)のFn。

(5)F-n = Fnの共役複素数
の関係から、虚数単位をiとおくと、
F0、(Fn + F-n)、(iFn - iF-n)、は実数になる。

ao/2 =F0,
a_n =(Fn + F-n),
b_n =(iFn - iF-n),
とおくと、

(6)f(t) の複素フーリエ級数は、近似的に、
= ao/2+Σ[n=1~N/2]{a_n*cos(nwt)+b_n*sin(nwt)}
(n=0~N/2の範囲のフーリエ級数)となる。

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