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図形と計量の問題が分からなくて困っています... OA=OB=OC=4, AB=BC=CA=2ルート2で...

ohc********さん

2013/12/2317:22:51

図形と計量の問題が分からなくて困っています...
OA=OB=OC=4, AB=BC=CA=2ルート2である四面体OABCがある。点Aから辺OBに下ろした垂線をAD, 点Dから辺OCに下ろした垂線をD

Eとする。四面体OADEの体積を求めなさい。

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pgs********さん

2013/12/2317:55:51

∠AOB=θとすると、余弦定理より

cosθ=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA・OB)

=(16+16-8)/(2・4・4)=3/4

よって、sin^2θ=1-cos^2θ=1-9/16=7/16

ここで、sinθ>0ですから、sinθ=√7/4

したがって、△OABの面積Sは、

S=(1/2)OA・OBsinθ=2√7

ところが、S=(1/2)AD・OB=2ADですから

AD=S/2=√7

また、OD=OAcosθ=4・(3/4)=3ですから

OE=ODcosθ=9/4

DE=ODsinθ=(3/4)√7

よって、△ODEの面積は、(1/2)OE/DE=(27/32)√7

したがって、四面体OADEの体積は

(1/3)・(27/32)√7・√7=63/32

となります。

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