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【中学数学】 なぜ、球の体積の公式が"三分の四πr3乗" 表面積の公式が"4πr2乗" ...

銀魂loveさん

2014/3/2322:39:29

【中学数学】
なぜ、球の体積の公式が"三分の四πr3乗"
表面積の公式が"4πr2乗"
になるのか、教えてください。
証明で、お願いします。

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tee********さん

2014/3/2322:42:01

そういうのは調べた方が早い

有名な公式だからね

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ysk********さん

2014/3/2620:17:30

正確に証明しようとすると積分を使う必要があるので、証明ではありませんが下の方法で視覚的に理解できると思います。
地面の上おいてある球を考える。地面と球の接点をA、球の中心をO、直線AOと球のAでない方の交点をBとおく。
そして、線分OBの所を中心に球を四角すいの形に開く(BOに指を突っ込んで、球を引き裂くイメージです)
この四角すいの体積は、球の体積と等しい。
この四角すいの底面は正方形で、その面積は"球の直径*球の直径"すなわち4r^2。
高さはAOに等しく半径だから、r.
よって体積は4r^2*r*(1/3)=(4/3)πr^3。

また、表面積は四角すいの底面積と等しい。
よって、直径*直径=4πr^2.
これでどうでしょうか?

積分を使う考え方は、以下のリンクを参考に。ただし、httpをttpにしてあります。
ttp://www.ii-okinawa.ne.jp/people/umet/biseki-cube.html

編集あり2014/3/2417:28:06

>>なぜ、球の体積の公式が"三分の四πr3乗" 表面積の公式が"4πr2乗" になるのか、教えてください。
>>証明で、お願いします。

証明自体はとても簡単だが、中学生には無理。なぜなら、数学の基礎力が無いから。この話は、高校の数学の後半で微分法や積分法という考え方を習わない限り本当にきちんと理解出来ない。逆にそれらを知っているなら、最初にやる演習問題程度の当たり前なのでこんなこと聞かない。だから、質問から質問者が積分法を知らないこともわかる。だから無理と書いた。

そういうのも何だから、積分法の基礎を絡めてざっくりとした話だけ書いておく。
ダンボール紙で半径の異なる円板をたくさんつくり、それを積み上げて球を作るとする。
表面積は、使ったダンボールの円板の側面の面積(円周✕厚み)の総和になる。
体積は、つかったダンボールの円板の体積(円の面積✕厚み)の総和になる。

ただし、この作業はダンボール紙の厚みがあるのできれいな球にはならない。だからダンボール紙よりも厚紙、厚紙よりもコピー紙と薄くしていくほど、できる球はより真球に近づき、側面の面積や体積の総和も球の表面積や体積に近づく。紙の厚みをゼロに近づければ、球の表面積や体積になる。この考え方に基づき計算すれば表面積や体積が出せる。しかし中学生では計算出来ない。

まあ、演習問題程度だから、ちらっと書くと、原点に中心を持つ半径rの球を考えて、その球をX-Y平面に水平でz=h (0≦h≦r)を通る平面で切った切り口を考える。その面積はπ(r^2-h^2)となる。その円がごく僅かな厚みdhを持つとする。そうすると円盤の体積はπ(r^2-h^2)dhとなる。これをhについて0からrまで積分する(円盤の体積を足し算する)とπ{(r^3-(1/3)r^3)}=と球の半分の体積(三分のニπr3乗)が出る。これを2倍すると三分の四πr3乗になる。

球の表面は体積がわかれば、表面積は体積のr方向の微分になるので4πr2乗となる。

概略はこんな感じで、計算自体はメモ用紙の隅っこで計算できるんだけど、これ以上の説明を書くと微積分の教科書の最初の方を延々と書かなきゃいけないからごめんね。本当にどう計算しているかまで知りたければ、身近で高校を出て理工系のしごとをしている人に聞くとちゃちゃっとやってくれるから。

lin********さん

2014/3/2323:52:02

V=1/3Sh=1/3(4πr^2)r=4πr^3/3

jan********さん

編集あり2014/3/2322:50:34

体積の求め方に関しては
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/ktaiseki/ktaiseki.htm

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sphere_episode1.htm
にかいてあります。(下のサイトには表面積の求め方に関しても誤魔化してかいてあります。)

上のサイトにあるように体積に関してはカバリエリの原理を認めればある程度正確に出すことが出来ますが、表面積は難しい。
表面積を正確に出すためには、高校に入って微積分を習うまで待ちましょう。

2014/3/2322:45:18

まず微積分を習いましょう

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