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互いに素の証明について。

yos********さん

2014/3/3013:37:33

互いに素の証明について。

互いに素の証明は背理法以外にもできますか?


例えば、nが自然数で、n^2と2n+1が互いに素であることを証明するためには、dを2以上の公約数として矛盾をつく、という解法の他に、最大公約数をd、残りを互いに素として、それが1だということを示しても良いのですか?

参考書には背理法しかないので…

補足n^2=d×a 2n+1=d×b (dは2以上の自然数)
として、背理法で示す場合、a、bは互いに素(つまりdは最大公約数)としてもいいですか?
それともdはただの公約数としないといけないのでしょうか?

背理法を使わない場合はdは最大公約数としないといけないですよね?(dをただの公約数とすると、d=1とした時点で、まだa.bに公約数があるかもしれないから)

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ベストアンサーに選ばれた回答

ohi********さん

編集あり2014/3/3020:35:22

【補足を受けて】
n^2=d×a 2n+1=d×b (dは2以上の自然数、aとbは互いに素)
n^2/(2n+1)=a/b
×b、×(2n+1)
b・n^2=a(2n+1)
aとbは互いに素
a=n^2、b=(2n+1)となり、d=1
よってn^2と2n+1は互いに素
……………………………………
あなたの挙げている2つのことは、同じです。
前者の背理法での方法は、後者のように行えばOkです。あなたの挙げている2つのことは、同じです。
前者の背理法での方法は、後者のように行えばOkです。

質問した人からのコメント

2014/3/30 22:23:23

ありがとうございました。

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