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n^2+1(nは整数)が3の倍数でないことを証明してください。

fec********さん

2014/6/1120:18:43

n^2+1(nは整数)が3の倍数でないことを証明してください。

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gla********さん

2014/6/1120:29:54

mod 3 とする


① n ≡ 0 のとき

n^2 + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 より

余りは 1


② n ≡ ±1 のとき

n^2 + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 より

余りは 2


① , ② より、 n^2 +1 は 3 の倍数ではない■

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ベストアンサー以外の回答

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bre********さん

2014/6/1120:57:36

すべての整数を3で割った余りで分類します
つまり、
n=3k
n=3k+1
n=3k+2
の全て場合について、与式のnに代入して調べます。こうすることによってすべての整数nについて与式を調べることができます。
(上の方の解答は周期性を利用して余りの表記を簡単にしたものです。modといいます。)

《解》
kを整数とする
(ⅰ)n=3kのとき
(3k)^2+1=3(3k^2)+1


(ⅱ)n=3k+1のとき
(3k+1)^2+1= 9k^2+6k+2
= 3(3k^2+2k) +2

(ⅲ) n= 3k +2 のとき
(3k+2)^2+1=9k^2+12k+5
=3(3k^2+4k+1)+2

よって(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) のどの場合にも与式は3の場合にならない
つまりすべての整数nにおいて与式は3の倍数でないことが示された。

以上です。

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