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等式a³+b³+c³=(a+b+c)(a²+b²+c²ーab-bc-ca)+3abc を用いて次の式の因数分解を...

gee********さん

2014/8/1116:22:33

等式a³+b³+c³=(a+b+c)(a²+b²+c²ーab-bc-ca)+3abc を用いて次の式の因数分解をせよ
1)(y-z)³+(z-x)³+(x-y)³

答えは3(y-z)(z-x)(x-y)
なんですがよくわかりません
詳しく教えてください

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ベストアンサーに選ばれた回答

got********さん

2014/8/1116:34:46

y-z=a, z-x=b, x-y=c とおくと、
a+b+c = y-z+z-x+x-y = 0 となるので

(y-z)³+(z-x)³+(x-y)³
= a³+b³+c³
=(a+b+c)(a²+b²+c²ーab-bc-ca)+3abc
= 0(a²+b²+c²ーab-bc-ca)+3abc
= 3abc
= 3(y-z)(z-x)(x-y)。

質問した人からのコメント

2014/8/12 09:14:29

ありがとうございます

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pre********さん

2014/8/1116:27:28

a=y-z、b=z-x、c=x-yとおくと、
与式=a³+b³+c³となるから、
=(a+b+c)(a²+b²+C²-ab-bc-ca)+3abc
a,b,cを元に戻すと、
={(y-z)(z-x)(x-y)}・{(y-z)²+(z-x)²+(x-y)²-(y-z)(z-x)-(z-x)(x-y)-(x-y)(y-z)}+3(y-z)(z-x)(x-y)
=0・{(y-z)²+(z-x)²+(x-y)²-(y-z)(z-x)-(z-x)(x-y)-(x-y)(y-z)}+3(y-z)(z-x)(x-y)
=3(y-z)(z-x)(x-y)・・・こたえ

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edo********さん

2014/8/1116:26:17

(y-z)³+(z-x)³+(x-y)³
={(y-z)+(z-x)+(x-y)}{(y-z)²+(z-x)²+(x-y)²-(y-z)(z-x)-(z-x)(x-y)-(x-y)(y-z)}+3(y-z)(z-x)(x-y)
=0×{(y-z)²+(z-x)²+(x-y)²-(y-z)(z-x)-(z-x)(x-y)-(x-y)(y-z)}+3(y-z)(z-x)(x-y)
=3(y-z)(z-x)(x-y)

a+b+c
に代入すると0になるからだね。

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