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1.25^nの整数部分が3桁であるような自然数nの値の範囲を求めよ log10 2=0.3010 ...

lia********さん

2014/9/612:39:21

1.25^nの整数部分が3桁であるような自然数nの値の範囲を求めよ log10 2=0.3010
この問題の解き方を教えてください

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

mac********さん

2014/9/613:07:09

以下、対数の底10は省略します。

整数部分が3桁の数は、常用対数をとると、2以上3未満となるものです。
たとえば、log100=2, log999.99<3です。

なので、2≦ log1.25^n <3となればいいです。

log2=0.3010しかヒントがないので、log1.25^nをlog2の形にしましょう。

log1.25^n
=n log125/100
=n(log125 -log100)
=n(log5^3 -2)
=n(3log5 -2)
=n(3log10/2 -2)
=n{3(log10 -log2)-2}
=n{3(1 -log2)-2}
=n(1 -3log2)
=n(1 -3×0.3010)
=n(1 -0.9030)
=0.0970n

よって、2 ≦ 0.0970n < 3です。

これより、2/0.0970 ≦ n < 3/0.0970

2/0.0970 = 20.618…
3/0.0970 = 30.927…
なので、自然数nの範囲は、21≦n≦30です。

質問した人からのコメント

2014/9/7 07:55:43

ありがとうございました(^^♪

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

bee********さん

2014/9/612:49:36

log10(1.25)
=log10(10/8)
=1-log10(8)
=1-3log10(2)
=0.0970

100<=1.25^n<1000
10^2<=1.25^n<10^3
2<=n*log10(1.25)<3
2<=0.0970n<3
2/0.0970<=n<3/0.0970
20.6<=n<30.9
21<=n<=30

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