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円に内接する四角形ABCDにおいて、BCがこの円の直径である。対角線ACとBDの交点をE...

wan********さん

2014/11/1020:52:50

円に内接する四角形ABCDにおいて、BCがこの円の直径である。対角線ACとBDの交点をEとし、EからBCに垂線EFを引く。このとき、次のことを証明せよ。

⑴BE・BD=BF・BC
⑵BE・BD+CE・CA=BC^2

詳しい解答をよろしくお願いします

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sug********さん

2014/11/1022:35:26

⑴△BEFと△BCDにおいて
∠EBF=∠CBD (共通)…①
また、BCは円の直径であるから、弧BCに対する円周角∠BDC=90°
仮定より∠BFE=90°
よって∠BFE=∠BDC…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいから、
△BEF∽△BCD
よってBE:BC=BF:BD ∴BE×BD=BC×BF…③
⑵⑴と同様にして、△CEF∽CBA
よって、CE:BC=CF:CA
CE×CA=BC×CF…④
また、BF=BC-CFであるから、
③=BE×BD=BC×(BC-CF)=BC^2-(BC×CF)
また、④よりBE×BD=BC^2-(CE×CA)
これを式変形すると、BE×BD+CE×CA=BC^2

分かりにくくて申し訳ありません。

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