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奇数偶数で形の変わる数列について。 a_1=1 ①a_(n+1)=a_n+(n+1)/2 (n=1,...

ben********さん

2015/3/1420:00:01

奇数偶数で形の変わる数列について。

a_1=1

①a_(n+1)=a_n+(n+1)/2

(n=1,3,5,........)

②a_(n+1)=a_n+n/2

(n=2,4,6........)

とうい数列があります。

この

ときのa_nの一般項を求めたいのですが、解答は下の写真ようになっています。



写真の下線部分と矢印のついているところの繋がりがわからないです。

まず下線部についてですが、

nが奇数の時と偶数の時で場合わけしてるのに、代入しちゃっていいのですか?

n=2kの時とn=2k-1で別の条件で考えているのに一緒にしていいのですか?

これでkの式をnに戻すときどちらを基準にして戻せばいいのですか?


次に矢印のついているところの繋がりについてですが、

これは何をやっているのでしょうか?


n=kを代入して階差数列の公式を証明からしてるんですか?

もしそうなら、n=kってやっていいのですか?

なんか自分でもどこが分からないのかよくからなくて、理解しにくい質問になっているかももしれませんが、解答よろしくおねがいします!


……画像見えますか?

下線,階差数列,矢印,n-1,2 4 6,1 3 5,漸化式

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lov********さん

2015/3/1602:49:14

>nが奇数の時と偶数の時で場合わけしてるのに、代入しちゃっていいのですか?
>n=2kの時とn=2k-1で別の条件で考えているのに一緒にしていいのですか?

そもそもこの考え方は、nの値を偶数と奇数で別々に考えているから漸化式が理解しにくい。偶数と奇数をkという文字を使って統一的に記述しようというのが目的なんです。

a[n+1]=a[n] + (n+1)/2 (n=1,3,5,........) …①
a[n+1]=a[n] + n/2 (n=2,4,6........) …②

これらの式と

a[2k] = a[2k-1] + k (k=1,2,3,…) …①’
a[2k+1] = a[2k] + k (k=1,2,3,…) …②’

これらの式の違いはnとkが漸化式の中で取る値を見れば明らかですよね?
①、②ではnの値が偶数・奇数で区別して式を分けているのに対して、①’、②’ではkの値が統一されてますから、①左辺のa[2k]と②右辺のa[2k]は同じ項を意味するので、代入が可能になるんです。

a[2k+1] = a[2k-1] + 2k
代入後に得られたこの式は、隣り合うnが奇数の項の関係を表す漸化式になります。


次に、
a[2n-1] = a[1] + (a[3]-a[1]) + (a[5]-a[3]) + … + (a[2n-1]-a[2n-3]) …③
の部分ですが…
ここまでは漸化式を使って変形したわけではなく、これから漸化式を使って一般項が計算できるように、右辺のa[2n-1]を左辺のような形に変形しているだけです。

逆に、
a[1] + (a[3]-a[1]) + (a[5]-a[3]) + … + (a[2n-1]-a[2n-3])
= (a[1] - a[1])+ (a[3]-a[3]) + (a[5]-a[5]) + … + (a[2n-3]-a[2n-3]) + a[2n-1]
= a[2n-1]
となっていますよね。

a[2k+1] = a[2k-1] + 2k → a[2k+1] - a[2k-1] = 2k
ですから、k=1,2,…n-1(n≧2)と代入していったとき、
a[3] - a[1] = 2・1
a[5] - a[3] = 2・2
a[7] - a[5] = 2・3

a[2n-1] - a[2n-3] = 2(n-1)
これは上の③式右辺の( )の中身と同じです。

ですから、
a[2n-1]
= a[1] + (a[3]-a[1]) + (a[5]-a[3]) + … + (a[2n-1]-a[2n-3])
= a[1] + Σ[k=1,n-1](a[2k+1] - a[2k-1])
= 1 + Σ[k=1,n-1]2k
と変形できるんです。


でも、この解説のようにいきなりa[2n-1]を変形するというよりは、以下のように漸化式を初めから使って考えたほうがわかりやすいと思います。

a[2k+1] - a[2k-1] = 2k
n≧2として、左辺にk=1,2,3,…,n-1と順次代入して
a[3] - a[1] = 2・1
a[5] - a[3] = 2・2
a[7] - a[5] = 2・3

a[2n-1] - a[2n-3] = 2(n-1)

これらの左辺と右辺をすべて足すと、
a[3] - a[1] + a[5] - a[3] + a[7] - a[5] + … + a[2n-1] - a[2n-3]
= 2・1 + 2・2 + 2・3 + … + 2(n-1)

左辺の打ち消される項をなくして整理します。
a[3] - a[1] + a[5] - a[3] + a[7] - a[5] + … + a[2n-1] - a[2n-3]
= -a[1] + (a[3]-a[3]) + (a[5]-a[5]) + … + (a[2n-3]-a[2n-3]) + a[2n-1]
= a[2n-1] - a[1]

また右辺は、
2・1 + 2・2 + 2・3 + … + 2(n-1)
= 2(1+2+3+…+(n-1))
= Σ[k=1,n-1]2k

したがって、
a[2n-1] - a[1] = Σ[k=1,n-1]2k
→ a[2n-1] = 1 + Σ[k=1,n-1]2k

参考になれば幸いです。

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