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問題です!

ryt3399さん

2015/4/2521:00:02

問題です!

お願いします
まだ論理記号の意味を把握しきれていない部分があるので、解説も書いていただけるとうれしいです

(1) P,Q,R を命題とするとき、次の2つの命題が論理同値であることを真偽表で確かめなさい:
(a) (P ならば Q) かつ (not P ならば R)
(b) (P かつ Q) または ( not P かつ R)

(2) 変数は整数を動くとき、以下の命題を、和・積・等号・不等号・ x|y (x は y の約数)と、論理記号を使って表しなさい。

(2-1) 奇数と奇数の和は偶数である。
(2-2) x と y は互いに素である。
(2-3) x と y が互いに素ならば、 ax+by=1 となる整数a,b が存在する。
(2-4) x は yと z の公約数である。
(2-5) x は yとz の最大公約数である。
(2-6) x は素数である。

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cottontail59さん

2015/4/2611:11:45

(1) P,Q,Rと3つの変数がある時の真理値表は、下のように、0と1の8通りの組み合わせがあります。この一つ一つについて、問題の真理値を地道に書いていくだけです。

知恵袋の回答欄では、スペースがうまく空けられないので、わかりにくいと思いますが、まず、(a)は以下のようになります。なお、
X= (P ならば Q)
Y= (not P ならば R)
Z= (P ならば Q) かつ (not P ならば R)
と略記しています。ノートなどに書く時は、この略記は不要です。

P-Q-R--X-Y-Z
0-0-0--1-0-0
0-0-1--1-1-1
0-1-0--1-0-0
0-1-1--1-1-1
1-0-0--0-1-0
1-0-1--0-1-0
1-1-0--1-1-1
1-1-1--1-1-1

同様に、(b)について真理値表を書くと、
X=(P かつ Q)
Y=( not P かつ R)
Z=(P かつ Q) または ( not P かつ R)

P-Q-R--X-Y-Z
0-0-0--0-0-0
0-0-1--0-1-1
0-1-0--0-0-0
0-1-1--0-1-1
1-0-0--0-0-0
1-0-1--0-0-0
1-1-0--1-0-1
1-1-1--1-0-1

(a)と(b)で、最後のZの部分の真理値が一致しているので、(a)と(b)は論値同値であることになります。


(2-1) 奇数と奇数の和は偶数である。
まず、偶数と奇数は以下のように表されます。
xは偶数:(x|2)
xは奇数:¬(x|2)

これを使って、「奇数と奇数の和は偶数である」は、
{¬(x|2) ∧ ¬(y|2)} ⇒ (x+y)|2

(2-2) x と y は互いに素である。
「互いに素」というのは、1以外に公約数を持たないということです。
したがって、(2-4)を使って、
∀a [a=1 ∨ ¬{(x|a) ∧ (y|a)}]

(2-4) x は yと z の公約数である。
(y|x) ∧ (z|x)

(2-6) x は素数である。
∀a {(a=1) ∨ (a=x) ∨ ¬(x|a)}

(2-3)は(2-2)の応用、(2-4)は(2-5)の応用です。どうしてもわからなければ、また質問してください。(2-6)は、他にもいろいろ書き方があるので、考えてみてください。

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