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2015/5/6 16:42

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nを2以上の自然数とする。x^n+ax+bが(x-1)^2で割り切れるとき、定数a,bの値を求めよ

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微分がまだ使えないなら以下の方法で。 f(x)=x^n+ax+b とおきます。f(x)は(x-1)^2で割り切れますから特にx-1で割り切れ、したがって f(1)=0 です。よって、 1+a+b=0 より b=-a-1 つまり f(x)=x^n+ax-a-1 です。ところで x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1) なので、 f(x) =(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)+a(x-1) =(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1+a) となります。 これを f(x)=(x-1)g(x) とおきます。 f(x)は(x-1)^2で割り切れますから、g(x)はx-1で割り切れ、したがって g(1)=0 です。よって 1^(n-1)+1^(n-2)+...+1+1+a=0 つまり n+a=0 になります。よって a=-n であり b=-(-n)-1=n-1 となります。