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数学で次の問題がわかりません。 三辺の長さx,y,zの三角形の面積Sは次式で与え...

rar********さん

2015/6/2120:34:51

数学で次の問題がわかりません。

三辺の長さx,y,zの三角形の面積Sは次式で与えられる。三角形の三辺の和が一定のとき、面積Sが最大となるのは三角形がどんな図形のときか。

S=1/4√(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) (ヘロンの公式)

途中計算を記載頂ければ助かります。

よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

iI.kさん

2015/6/2121:12:58

面積S 辺abcとする。
S=1/2absinC
余弦定理より
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
sinC=√(1-cos²C)=√{(1-(a²+b²-c²)}/√2ab・√{(1+(a²+b²-c²)}/√2ab
=√{(1-(a²+b²-c²)}/√{(a+b)²-c²}/2ab
={c²-(a-b)²}√{(a+b)²-c²}/2ab
=√{c²-(a-b)²}√{(a+b)²-c²}/2ab
=√{c-(a-b)}√{c+a-b}√(a+b-c)√{a+b+c)/2ab
∴S=√{c+b-a)}{c+a-b}(a+b-c){a+b+c)

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hir********さん

2015/6/2120:50:08

相加平均・相乗平均を使うだけ。

x+y-z=α、x-y+z=β、-x+y+z=γ、とする。
2辺の和は他の1辺より大きいから、α>0、β>0、γ>0
3式を足すと、α+β+γ=x+y+z

x+y+z=k=一定とすると、α+β+γ=k
4S=√(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) =√(kαβγ)
2乗すると、16*S^2=kαβγ → αβγ=16*S^2/k ‥‥①

相加平均・相乗平均より、k=α+β+γ≧3(3)√(αβγ)
3乗すると、αβγ≦k^3/27 ‥‥②

以上、①と②より、16*S^2/k≦k^3/27 → S≦k^2/12√3
等号成立は、α=β=γだから、x=y=z → 正三角形


質問者:rarabai88さん。2015/6/21、20:34:51

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