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素数が無限にあることを証明しろ、って中学生の先生に言われて、わかりません。

syogo428さん

2008/2/1918:31:56

素数が無限にあることを証明しろ、って中学生の先生に言われて、わかりません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

vipdebapさん

2008/2/1919:11:20

中学生と言う事なので、あまり記号は使わずに書きます

仮に素数を有限個だと考えて、その最大の素数をNとします

すると素数は 2、3、5、7、11、・・・・・・・・・・・、N これで全てです

次にこの素数を全部掛け合わせた数をAとします

A=2×3×5×7×11×・・・・・・・・×N

この数Aは成り立ちから分かる通り、どの素数で割ってもキチンと割り切れます
次にAに1を足した数をBとします

B=(2×3×5×7×11×・・・・・・・・×N)+1

するとBは2からNまでのどの素数で割っても1余ります。言葉を変えると
最小の素数2から最大の素数Nまでのどの素数でも割り切れない数です

このことから考えられる事は2つ、これはB自体が素数であるか、BがN以上の未知の素数で
割り切れるかどちらかであることを示しています

よって、最大の素数Nは存在しない、すなわち素数は無限に存在します

質問した人からのコメント

2008/2/22 23:30:46

成功 ありがとうございます。これで、先生を見返します

ベストアンサー以外の回答

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mystaaarさん

2008/2/1921:05:39

素数が有限であることが、証明しようがないので
無限なんじゃないんでしょうか?

2008/2/1919:46:01

補足します。まず、中学生では分からないでしょう。高校で証明法の一つとして背理法というのを学びます。それなら話が分かります。

証明をそのまま証明するのが難しい。じゃあ、どうするか。仮に証明は嘘である、と疑って、やることです。そうすると、矛盾が見つかります。だから、証明は正しいんです。っていうやり方です。

素数は無限にあるのが事実です。じゃあ、仮に、素数は有限である、と決めて、検証した結果、違う、よって、無限にあるんだよ、って示せばいいんですね。やり方は前の回答者の通りです。

2008/2/1918:36:15

最大の素数があるとして、それより大きい素数をつくることができれば、矛盾するので
無限にあることがいえる。
(ヒント)最大の素数をMとしてM以下の素数の積をPとすると、
P+1はどの素数で割っても1あまる。P+1>M

seakixnwa096さん

2008/2/1918:35:58

じゃあ、その前に有限であることを証明しろ!と聞いてみてはいかがでしょうか?

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