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整数の最小公倍数から未知の自然数を決定する問題です。nと12と50の最小公倍数が15...

ゴルゴ56530さん

2015/10/822:53:28

整数の最小公倍数から未知の自然数を決定する問題です。nと12と50の最小公倍数が1500となる自然数nをすべてもとめよ。

12=2^2・3, 50=2・5^2, 1500=2^2・3・5^3よって2^a・3^b・5^3となるのですがなぜaとbになるのかが理解できません!!だれか教えてください!

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oba********さん

2015/10/906:19:11

nと12と50の最小公倍数が1500となる自然数nをすべてもとめよ。
1500の素因数分解から
nの素因数には2、3、5が考えられるから
n=2^a・3^b・5^cとおく。
3つのかずの最小公倍数は素因数をそれぞれ見比べて指数が一番大きいものになります

__12=2^2・3^1・5^0
__50=2^1・3^0・5^2
___n=2^a・3^b・5^c
──────────
1500=2^2・3^1・5^3


素因数2について
2と1とaがあり、1500には2があるから、
2と1とaの一番大きいのが2だといいので
aは2以下の0、1、2のいずれか。
a=0、1、2

素因数3について
1、0、bがあり1500の3の指数が1であるから
一番大きいのが1であればよいから
b=0、1のいずれか。

素因数5について
0、2、cのうち一番大きいのが3(←1500の中の5^3だから)なので
c=3

よって

n=2^a・3^b・5^3
ただしa=0、1、2。b=0、1

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nij********さん

2015/10/907:29:46

12=2²x3
50=2x5²

nと12と50の最小公倍数が、
l=1500
=3x5x10²
=3x5x2²x5²
=2²x3x5³
より、
n=2^ax3^bx5^c
a,b,cは、0以上の整数
の形でなくてはなりませんね。
nに他の素因数があると、
最小公倍数が1500になりません。
更に、指数について着目すると、
n=2^ax3^bx5³
....................☝
ここが決まります。
a=0,1,2
b=0,1
nは、
2⁰x3⁰x5³
2¹x3⁰x5³
2²x3⁰x5³
2⁰x3¹x5³
2¹x3¹x5³
2²x3¹x5³
二なります。

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