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行列式の問題です。 2次正方行列Aの固有多項式det(tE-A)がt^2-5t+7であるとき、...

com********さん

2015/11/2820:21:57

行列式の問題です。

2次正方行列Aの固有多項式det(tE-A)がt^2-5t+7であるとき、4次正方行列
[O,A](1行目)
[A,O](2行目)
の固有多項式はいくらか?

ただしE単位行列 Oを零行列とする。

答えは
(t^2-5t+7)(t^2+5t+7)
らしいのですが理由がわかりません。

|A,B|
|B,A|
のとき|A+B||A-B|なのでこれを使用してやったのですが答えと合いません

よろしくお願い致します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ウランさん

2015/11/2908:23:17

4次正方行列

[O A]
[A O]

の固有多項式を求めるとき

行列式

|tE -A|
|-A tE|

の値を求めればよくこれは

= |tE - A| |tE + A|

を計算すればいいので

|tE - A| は条件より det(tE - A) = t² - 5t + 7

|tE + A|の方ですが

E を n 次の正方行列の場合に

|tE - A| = f(t) とすれば

|tE + A| = |-{(-t)E - A}|

= (-1)ⁿ|(-t)E - A|

= (-1)ⁿ f(-t) という関係式になるので

いまの場合は n = 2 なので

f(t) = at² + bt + c であれば

|tE + A| = (-1)²{a(-t)² + b(-t) + c}

= at² - bt + c となるので

det(tE + A) = t² + 5t + 7

となるので

(t² - 5t + 7)(t² + 5t + 7)

となります

質問した人からのコメント

2015/11/29 17:45:35

ありがとうございます。

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