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In a Cartesian coordinate system, four points A, B, C, and D formed a rectang...

un5********さん

2015/12/419:50:11

In a Cartesian coordinate system, four points A, B, C, and D formed a rectangle are on an ellipse x^

2/a^2+y^2/b^2=1, where a and b are real numbers and satisfy 0<a<b. Show that each sides of the rectangle ABCD are parallel to the x-axis or y-axis.
——————
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bud********さん

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2015/12/509:50:36

正方形に外接するだ円:
単位円上の4点
A(1/√2, 1/√2)
B(-1/√2,1/√2)
C(-1/√2,-1/√2)
D(1/√2,-1/√2)
4点をとる
4点をとおるだ円(2次曲線)
x^2とy^2の係数の和=0[trace=0]のときはだ円にならない
x^2とy^2の係数の和≠0[trace≠0]のとき:
f(x,y)=(1+a)x^2+2bxy+(1-a)y^2+dx+ey+f=0
[だ円:a^2+b^2<1]
f(A)=0
f(B)=0
f(C)=0
f(D)=0
をとけば
b=d=e=0,f=-1
(1+a)x^2+(1-a)y^2=1 |a|<1
結局
正方形に外接するだ円の軸は 各辺に平行なものだけ
*************
問題の長方形ABCDは
全体を√2/CD倍すればCD=√2にできるから
AB=CD=√2,AD=BC=√2λとおく。
AC,BDの交点をM,Mを中心としABに平行にx軸、ADに平行にy軸をとる

x方向に1/λ倍すれば 長方形ABCDは一辺√2の正方形にうつる。
[変換は正則だから平行関係は変わらない。逆変換も同じ]
この正方形に外接するだ円の軸は 各辺に平行なものだけ
長方形ABCDに外接するだ円は軸が各辺に平行なものだけ
[軸が各辺に平行でないだ円が外接するとすれば
変換で 軸が各辺に平行でないだ円が正方形に外接することになる]

  • 質問者

    un5********さん

    2015/12/719:52:52

    budewslakothさんへ

    ご回答ありがとうございます.
    質問させていただきます.楕円の方程式を
    f(x, y)=(1+a)x^2+2bxy+(1-a)y^2+dx+ey+f=0, a^2+b^2<1
    と仮定しておりますが,この式はどこから出てきたのでしょうか?ご教授のほどよろしくお願いいたします.

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質問した人からのコメント

2015/12/11 11:34:33

ありがとうございました.

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