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lim[n→∞]∑[k=1~n]|cos(2k+1/n)-cos(2k-1/n)|=∫|sint| dt[t=0~x]であることを...

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ID非公開さん

2015/12/1914:26:56

lim[n→∞]∑[k=1~n]|cos(2k+1/n)-cos(2k-1/n)|=∫|sint| dt[t=0~x]であることを示してください

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2015/12/1918:57:14

|cos((2k+ 1)/n)-cos((2k-1)/n)|=2|sin(1/n)sin(2k/n)|
また 0<x-x²/2<sin x<x (0<x≦1) である。

すると 0<1/n≦1だから
{(1/n)-(1/n)²/2}2|sin(2k/n)|<2|sin(1/n)sin(2k/n)|
<2(1/n)|sin(2k/n)|

∑[k=1~n]{(1/n)-(1/n)²/2}2|sin(2k/n)|<与式
<∑[k=1~n](1/n)2|sin(2k/n)|

ここで ∑[k=1~n](1/n)2|sin(2k/n)|→2∫[0,1]|sin(2x)|dx

また、 ∑[k=1~n]{(1/n)²/2}2|sin(2k/n)|
=(1/n)∑[k=1~n](1/n)|sin(2k/n)| → 0

だから∑[k=1~n]{(1/n)-(1/n)²/2}2|sin(2k/n)|→ 2∫[0,1]|sin(2x)|dx
ゆえに、挟み撃ちにより、
与式= 2∫[0,1]|sin(2x)|dx=∫[0,2]sin x dx=1- cos 2

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