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modの計算がわからず困っています。

hak********さん

2016/1/2321:51:07

modの計算がわからず困っています。

(1) 11x≡8(mod 120)
(2) 18x≡10(mod 120)
(3) 45x≡30(mod 120)

(1)は 11X≡1(mod 120) をまず解くといいと言われましたがよくわかりません。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2016/1/2321:51:46

ひきざんしてみては。

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tak********さん

2016/1/3105:24:07

(1) 11x≡8(mod 120)

11xを120で割ると8余るのだから11x-120y=8と書ける
だから、120y-11x=1 の特殊解に-8を掛ければ答え。

120y-11x=1 はユークリッドの互助法でx、yが求まる。
120=11*10+10
11=10*1+1
これより
1=11-10*1
=11-(120-11*10)
=-120 + 11*11
特殊解はy=-1、x=-11、-11*-8=88

x=88

(2)18x≡10(mod 120)

ax≡b(mod m)が解xを持つための必要十分条件はaとmの最大公約数gcd(a;m)が,bを割り切ること。
これにより解を持たない。(10は、18と120の最大公約数6で割れない)

(3) 45x≡30(mod 120)
計算するより直感で6。45*6=270は、120で割ると余り30)

doa********さん

2016/1/2321:55:39

合同式の解き方については「拡張ユークリッド互除法」という言葉で検索していただければよいかと思います。

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