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指数関数について教えてください。 {xn}を有理数の増大列とします。 lim(n→∞)x...

aih********さん

2016/3/2414:25:10

指数関数について教えてください。

{xn}を有理数の増大列とします。
lim(n→∞)xn=xとします。

a>0のときa^xの定義をa^x=sup{a^(xn)}とします。

a^xが連続関数であることを証明してください。

sup{a^(xn)}が一意的に存在することは無条件で認めてもいいです。

補足訂正
a>1です。

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ベストアンサーに選ばれた回答

dap********さん

2016/3/2416:30:00

①有理数上の関数として、その指数関数が単調増加であることを示す。
②sup{a^(xn)}≧lim{a^(xn)}を示す。
(<であると仮定すると大きなNについてa^(xN)>supになるから矛盾)
③sup{a^(xn)}≦lim{a^(xn)}を示す。
(sup{a^(xn)}ーlim{a^(xn)}=ε>0であると仮定すると、あるNについてa^N>sup{a^(xn)}ーε>lim{a^(xn)}になるから①とあわせて矛盾)

  • 質問者

    aih********さん

    2016/3/2417:41:38

    回答ありがとうございます。

    sup{a^(xn)}=lim{a^(xn)}を示したということは
    fがx=cで連続
    ⇔lim(n→∞)xn=cならばlim(n→∞)f(xn)=f(c)
    を使うんでしょうか?

    ひとつ疑問なのは、単調増加列{xn}についてのみ
    lim(n→∞)xn=cならばlim(n→∞)f(xn)=f(c)
    を示すだけで、fがx=cが連続がいえるのはどうしてですか?

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質問した人からのコメント

2016/3/25 17:18:40

勉強になりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nek********さん

2016/3/2417:04:10

任意のq∈(-1,1)に対して、
0<|a^q-1|≦|q|(a-1)
が成り立つ。
-----
∵(a^(n+1)-1)/(n+1)-(a^n-1)/n
={(na^(n+1)-(n+1)a^n+1)}/{n(n+1)}
分子を計算すると、
na^(n+1)-(n+1)a^n+1
=n(a-1)a^n-(a^n-1)
=(a-1)(na^n-a^(n-1)-a^(n-2)-... -1)
=(a-1)Σ[k=1,n](a^n-a^(k-1))>0.
よって、
0<(a^(n+1)-1)/(n+1) - (a^n-1)/n
n<mならば、
0<(a^m-1)/m-(a^n-1)/n
ここで、
aをa^(1/m)で置き換えると
0<(n/m)(a-1) - (a^(n/m)-1),
a^(n/m)-1<(n/m)(a-1)
よって、q∈(0,1)∩Qに対して、
0<a^q-1<q(a-1)
q∈(-1,0)∩Qに対して、
0<a^(-q)-1<(-q)(a-1)
0<1-a^q<-qa^q(a-1)<-q(a-1)
q∈(-1,1)に対して、
0<|a^q-1|≦|q|(a-1)
----
|x-c|<1とする。
lim[n→∞]x[n]=x-c, lim[n→∞]a^(x[n])=a^(x-c)
となるx-cに収束する有理数の列(x[n])が存在する。よって、
|a^x-a^c|
=a^c |a^(x-c)-1|
=a^c lim[n→∞]|a^x[n]-1|
≤a^c lim[n→∞]|x[n]|(a-1)
=a^c (a-1) |x-c|
ε>0を任意にとり、|x-c|<min{1,ε/(a^c(a-1))}とすると、
|a^x-a^c|<ε.

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