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円c:x^2+y^2=5と直線l:kx-y+k+3(kは正の定数)について次のに答えよ 博識な方お...

pil********さん

2016/4/723:38:07

円c:x^2+y^2=5と直線l:kx-y+k+3(kは正の定数)について次のに答えよ

博識な方お願いします。


(1)直線lは、kの値にかかわらず定点Aを、通る。点Aの座標を求めよ。

(2)円cと直線lが接す

るとき、定数kの値と接点Bの座標をそれぞれ求めよ。

(3)(2)のとき直線m:x-3y-5=0上の点Pについて、AP+BPの最小値と、そのときの点Pの座標を求めよ。

補足できるだけ途中式の省略がないと嬉しいです。

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bib********さん

リクエストマッチ

2016/4/801:12:25

(1)
l:kx-y+k+3=0として議論を進めます。
kによらずに一定の値をとるということは、
kについての恒等式ということです。
kx-y+k+3=k(x+1)+(-y+3)なので
k(x+1)+(-y+3)=0が任意のkに対して成り立つためには、
x+1=0かつ-y+3=0である。従って、x=-1, y=3
つまり、定点A(-1, 3)を通る直線である。

(2)
C: x^2+y^2=5と直線l:kx-y+k+3=0
が接するためには、
y=kx+k+3をx^2+y^2=5に代入して、
xが重解を持てば良い。
x^2+(kx+k+3)^2=5
整理すると、
(1+k^2)x^2+2k(k+3)x+(k+3)^2 -5=0
判別式D=2(k-2)(2k+1)=0
k>0なので、k=2
この時、x^2+(kx+k+3)^2=5に代入すると、
整理して、(x+2)^2=0
よって、x=-2となる。
接点のx座標は-2
これを、y=kx+k+3に代入すると、
y=1
つまり、接点の座標はB(-2, 1)

(3)
A(-1, 3)と直線m:x-3y-5=0に対称な点をC(a, b)とする。
ACの中点((-1+a)/2, (3+b)/2)はm上にあるので、
((-1+a)/2)-3((3+b)/2)-5=0
整理すると、a−3b=20
また、線分ACと直線mは垂直なので、
線分ACの傾きとmの傾きをかけると-1になるから、
(b-3)/(a+1)・(1/3)=-1
整理すると、
3a+b=0
この二つの連立方程式を解くと、
a=2, b=-6
つまり、C(2, -6)
AP+BP=CP+BPなので、
AP+BPが最小となる時、
Pが線分BC上にあれば良い。
直線BCの方程式は、y=(-7/4)x-5/2
これと、mとの交点は、
P(2/5, -16/5)
となる。
この時、AP+BPが最小値は
線分BCの長さ√65
となる。

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質問した人からのコメント

2016/4/8 16:51:48

わかりやすい解説ありがとうございました。

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