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線形代数におけるベクトル空間の「次元」 フラクタル図形の「フラクタル次元」 ...

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ID非公開さん

2016/6/2608:05:06

線形代数におけるベクトル空間の「次元」

フラクタル図形の「フラクタル次元」


なぜ同じ「次元」という表現を使うのでしょう?

背景にどんな概念が共通しているのですか?

閲覧数:
77
回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

get********さん

2016/6/2721:46:23

数学では同じ用語を違う意味で使うことが多いのです。
数学には様々な分野があり、分野が違えば同じ用語が別の意味になります。

質問の次元も別のモノと考えた方がいいと思います。
----
球面やトーラス(ドーナツ面)は、位相幾何学(通常)では、2次元の図形と考えますが、
代数幾何学では、1次元の図形(代数曲線)として扱います。
代数幾何学では、方程式の解を複素数の範囲で考えるから、こんなことが起きるのです。

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質問した人からのコメント

2016/7/2 22:22:21

なるほど!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kak********さん

2016/6/2714:26:53

回答者がないようなので解答します
専門的なことは40年前のことなので正確には説明できませんが、大まかに説明しておきます。
次元の定義は何通りもあります。
○ 点は0次元、0次元の図形で2つの部分に分断されるものは1次元、n-1次元の図形で分断されるものはn次元
○ x>0として、v1の大きさの図形を長さでx倍したときの大きさをvxとするとき、(logvx)/(logv1)で定義する
他にも多数あります。(位相次元と入力して検索すると面白い定義がたくさん見つかります)
ただし、円とか、球とか、直方体とか、ドーナツ面とか、普通に頭に浮かぶような図形の場合、どの定義でも次元の値は同じです。
フラクタル図形のような「複雑さ」を持つ図形の場合には定義による違いが出てくるのです。
フラクタル図形に限らず、腸壁やリアス式海岸の地形とかの複雑さを表現する数値としての次元の値という使われ方があるのです。
余談ですが、アニメ動画が70年代から80年代に大きく変化する背景にCG技術の進歩がありますが、物体の質感や海、空など風景のリアルさ等が表現できるようになったのは次元論やフラクタル関係の理論の応用です。

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