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位相空間論について 位相空間(X,T)を考える。K⊂Xとする。Kの集積点がす...

one********さん

2016/7/201:30:16

位相空間論について

位相空間(X,T)を考える。K⊂Xとする。Kの集積点がすべてKに含まれるときKは閉集合といえるか?

閉集合なら証明、違うなら反例を上げてください。


こちらが解けなくて困っています。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

こうさん

2016/7/211:58:37

Kの閉包K*を考えると、
x∈K*に対して、x∈Kを示す(K*⊂Kを示す)
(1)x∈Kのとき、x∈Kは明らか。
(2)x∈Kでないとき
xはKの集積点なので、条件より、x∈K
したがって、x∈K
つまり、K*⊂K

K*⊃Kは明らかだから、K*=K

よって、Kは閉集合。


これでよいと思います。
なお、反例をあげられた方がおられますが、
X={a,b,c}
T={Φ,{a,b},X}
K={a,b}
のとき、
Kの集積点全体の集合は、Xになります。
cを含む任意の開集合はXだけであり、それはKとc以外に共通部分を持ちますから、cも集積点です。

質問した人からのコメント

2016/7/2 12:04:00

ありがとうございましたm(_ _)m
他の方も解答してくださり助かりました

ベストアンサー以外の回答

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かんてんさん

2016/7/206:05:51

前の回答の反例について:
点cの開近傍はXのみで、Kと交わっているため、cもKの集積点であり、すべての集積点を含んでいないことになると思います。

問いの回答について:
Kの補集合の点xをとると、xはKの集積点ではないため、Kと交わらないようなxの開近傍が存在します。
ゆえに、Kの補集合K'は、
「K'は、K'の任意の点の近傍である」
という性質を満たし、開集合であることが分かります。故に、K自身は閉集合です。

cli********さん

2016/7/202:34:46

oneforonexyliさん

閉集合とはいえない.

【反例】
X = {a,b,c}
X の開集合系を {Φ,{a,b},X} と定義する.
このとき, 閉集合系は {Φ,{c},X} となる.
K = {a,b} ⊂X において
a の開近傍 (a を含む開集合) は K と X だけであり, K にも X にも b が含まれるから, a は集積点である.
b の開近傍は K と X だけであり, K にも X にも a が含まれるから, b は集積点である.
すなわち, K の集積点がすべて K に含まれる.
しかし, K は閉集合ではない.

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