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ジョルダン標準形についての問題です A=[1 1 2] [0 1 1][0 0 2] のジョルダ...

wea********さん

2016/7/2500:19:35

ジョルダン標準形についての問題です

A=[1 1 2] [0 1 1][0 0 2]

のジョルダン標準形を決定せよ



よろしくお願いします

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sma********さん

2016/7/2509:36:53

【解答】
A は上三角行列なので, 固有値はを λ=1 (2 重解), 2.

(i) λ=1 のとき,
・A-E =
┌ 0, 1, 2 ┐
│ 0, 0, 1 │
└ 0, 0, 1 ┘

┌ 0, 1, 0 ┐
│ 0, 0, 1 │
└ 0, 0, 0 ┘.
・(A-E)^2 =
┌ 0, 1, 2 ┐┌ 0, 1, 2 ┐
│ 0, 0, 1 ││ 0, 0, 1 │
└ 0, 0, 1 ┘└ 0, 0, 1 ┘
=
┌ 0, 0, 3 ┐
│ 0, 0, 1 │
└ 0, 0, 1 ┘

┌ 0, 0, 1 ┐
│ 0, 0, 0 │
└ 0, 0, 0 ┘
なので, (広義)固有空間の次元は
・dim W1(λ) = 3-rank(A-E) = 3-2 = 1 (< 重複度).
・dim W2(λ) = 3-rank((A-E)^2) = 3-1 = 2 (= 重複度).
そこで, W2(λ) の元として,
・v1 := [0, 1, 0]
をとり,
・v2 := (A-E) v1 = [1, 0, 0]
をとる .

(ii) λ=2 のとき,
・A-2E =
┌-1, 1, 2 ┐
│ 0,-1, 1 │
└ 0, 0, 0 ┘
→ … →
┌ 1, 0,-3 ┐
│ 0, 1,-1 │
└ 0, 0, 0 ┘
なので, 広義固有空間の次元は
・dim W1(λ) = 3-rank(A-2E) = 3-2 = 1 (= 重複度).
そこで, W1(λ) の元, すなわち, 固有ベクトル
として,
・v3 := [3, 1, 1]
をとる.

以上より,
P = [v2, v1, v3] =
┌ 1, 0, 3 ┐
│ 0, 1, 1 │
└ 0, 0, 1 ┘
とおくと,
P^(-1) A P =
┌ 1, 1, 0 ┐
│ 0, 1, 0 │
└ 0, 0, 2 ┘.

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