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Gを群とするとき、以下の写像はいずれも全単射であることを示せ。

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ID非公開さん

2016/8/607:18:06

Gを群とするとき、以下の写像はいずれも全単射であることを示せ。

(1)f:G→G,x→x^(-1)
(2)m_a:G→G,x→ax (a∈G)
(3)n_a:G→G,x→xa (a∈G)

(1)は何となく分かるのですが、(2)と(3)が分かりません回答お願いします。

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カテゴリマスター

h7n********さん

2016/8/607:43:09

(1)
G は群なのですべての x ∈ G に対して

逆元 x⁻¹ ∈ G は存在します♪

よって全射であることはすぐにわかいます☆

次に x の逆元が複数ある場合を考えて

その逆元を y, z とします☆

このとき yxz = y(xz) = ye = y であり

yxz = (yx)z = ez = z なので

y = z となり x の逆元は一意に決まるため

x と x⁻¹ のペアは 1 対 1 であり

全単射であるとわかりますね(b^-^)

(2)
z = ma(x) = ax としたとき

a⁻¹ ∈ G を両辺左からかければ

z に対して逆写像 x = a⁻¹z とできるので

これも全射です♪

また ma(x) = ma(y) となるとき

ax = ay ですが両辺左から a⁻¹ をかければ

x = y となるので単射です☆

(3)
(2) とほとんど同じですが

z = na(x) = xa に対して

x = za⁻¹ とできるので全射であり

na(x) = na(y) は xa = ya ですが

両辺右から a⁻¹ をかければ

x = y となるので単射ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬

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質問した人からのコメント

2016/8/6 08:10:12

ご回答ありがとうございます。とても丁寧で見やすいので助かりました。

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