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換算質量のエネルギー保存についてvとv'はPから見たQの相対速度として

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ID非公開さん

2016/11/508:44:52

換算質量のエネルギー保存についてvとv'はPから見たQの相対速度として

以下の保存則は成り立ってるでしょうか
成り立ってる場合、一般に成り立つ証明お願いします

相対速度,保存則,換算質量,エネルギー保存,重心,エネルギー,証明

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chi********さん

2016/11/512:19:56

成り立ちます.

ふつうに運動量保存の式とエネルギー保存の式を連立し,Mの速度を消去することにより,その式を導くことができます.

ですが,換算質量や相対速度を使う場合には,系の運動エネルギーが重心の運動に伴うエネルギーと重心に相対的な運動に伴うエネルギーの和になることを使うとよいでしょう.今のケースでは,図の二つの時点で,重心の速度は変わらないので,重心の運動に伴うエネルギーは同じです.よって,重心に相対的な運動のエネルギーだけ考えればよいことになります.

ある慣性系(例えば床)に対するMの速度を一般的にVとすると,mの速度は V+v.重心の速度は
Vg = {MV+m(V+v)}/(M+m).
重心に相対的なMの速度は
U = V-Vg = -mv/(M+m).
同じくmの速度は
u = U+v = Mv/(M+m).
よって,これらの運動に伴うエネルギーは
E = (1/2)MU^2 + (1/2)mu^2
= (1/2){v/(M+m)^2}(Mm^2 + mM^2)
= (1/2){Mm/(M+m)}v^2. __(1)
この式から,重心に相対的な運動に伴うエネルギーは,仮定した慣性系に対するMの速度Vには依存せず,mとMの相対速度vだけで決まるという当然のことを確認できます.

(1)式を図の二つの場合に適用し,位置エネルギーの変化を考慮することにより,図の式を導くことができます.

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