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大学数学、微分積分の問題です。

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ID非公開さん

2016/11/701:21:42

大学数学、微分積分の問題です。

解けないので解いてほしいです。
なるべく詳しくお願いします。


ヒントとしては、
S_N(x):=Σ(n=1→N)f_n(x) (x∈I)とおく。
というふうになってます。



次の(1)〜(3)をそれぞれ証明せよ。



(1) I上の連続関数列{f_n}について、関数項級数Σ(n=1 → ∞)f_n が一様収束すれば極限関数S=Σ(n=1→∞) f_n はI上連続である。


(2)[a,b]上の連続関数列{f_n}について、Σ(n=1→∞)f_n が[a,b]上一様収束すれば Σ(n=1→∞)∮(a→b)f_n(x)dx==∮(a→b) (Σ(n=1→∞)f_n(x))dx が成り立つ。

(3) I上のC'級関数列{f_n}について、Σ(n=1→∞)f_nがI上各点収束し各導関数が作る関数項級数Σ(n=1→∞)f'_n がI上ある関数に一様収束すれば(Σ(n=1→∞)f_n(x))'=Σ(n=1→∞)f'_n(x) が成り立つ。

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ar4********さん

2016/11/1215:28:21

∀:「任意の」、∃:「存在する」
S[n](x):=Σ(k=1~n)f[k](x) (x∈I)とする。
(1)
関数列{f[k](k=1,2,・・・,n)}はI上で各点連続
⇔ ∀a∈I,∀(ε/(3n))>0,∃ξ[k](ε/(3n),a)>0,
∀x∈I
[|x-a|<ξ[k](ε/(3n),a)
⇒ |f[k](x)-f[k](a)|<ε/(3n) ]
・・・①

①で、η[n](ε/3,a):=max[k]{ξ[k](ε/(3n),a)}
とすると、
関数列{f[k](k=1,2,・・・,n)}はI上で各点連続
⇒ ∀a∈I,∀(ε/(3n))>0,∃η[n](ε/3,a)>0,
∀x∈I
[|x-a|<ξ[k](ε/(3n),a)≦η[n](ε/3,a)
⇒|S[n](x)-S[n](a)|
=|Σ(k=1~n)f[k](x)-Σ(k=1~n)f[k](a)|
≦Σ(k=1~n)|f[k](x)-f[k](a)|
<Σ(k=1~n)(ε/(3n))
=ε/3 ]
(関数列{S[n]}はI上で各点連続)
・・・②

S[n](x)がI上でS(x)に一様収束
⇔ ∀(ε/3)>0,∃N(ε/3)∈(自然数全体の集合),
∀x∈I [n≧N(ε/3) ⇒ |S[n](x)-S(x)|<ε/3]
・・・③

③より、
S[n](x)がI上でS(x)に一様収束
⇒∀(ε/3)>0,∃N(ε/3)∈(自然数全体の集合),
∀x∈I [|S[N(ε/3)](x)-S(x)|<ε/3]
かつ∀a∈I [|S[N(ε/3)](a)-S(a)|<ε/3 ]
・・・④

②,④より、
関数列{f[k](k=1,2,・・・,n)}はI上で各点連続
かつ、S[n](x)がI上でS(x)に一様収束
⇒ ∀a∈I,∀ε>0,
∃δ[N(ε/3)](ε,a):=η[N(ε/3)](ε/3,a)>0,
∀x∈I [|x-a|<δ[N(ε/3)](ε,a)
⇒ |S(x)-S(a)|
≦|S(x)-S[N(ε/3)](x)|
+|S[N(ε/3)](x)-S[N(ε/3)](a)|
+|S[N(ε/3)](a)-S(a)|
<(ε/3)+(ε/3)+(ε/3)
=ε ]
⇒S(x)はI上で各点連続・・・⑤

よって、題意は示された。

(2)
②,④,⑤より、
関数列{f[k](k=1,2,・・・,n)}は[a,b]上で各点連続
かつ、S[n](x)がI上でS(x)に一様収束
⇒関数列{S[n]},S(x)は[a,b]上で各点連続
⇒関数列{S[n]},S(x)は[a,b]上で積分可能
・・・⑥

④より、
S[n](x)が[a,b]上でS(x)に一様収束
⇒∀(ε/(b-a))>0,
∃N(ε/(b-a))∈(自然数全体の集合),
∀x∈[a,b] [|S[N(ε/(b-a))](x)-S(x)|<ε/(b-a)]
・・・⑦

⑥,⑦より、
関数列{f[k](k=1,2,・・・,n)}は[a,b]上で各点連続
かつ、S[n](x)が[a,b]上でS(x)に一様収束
⇒∀ε>0,∃N(ε/(b-a))∈(自然数全体の集合),
∀x∈[a,b]
[|∫[a,b]S[N(ε/(b-a))]dx-∫[a,b]S(x)dx|
=|∫[a,b]{S[N(ε/(b-a))-S(x)}dx|
≦∫[a,b]|S[N(ε/(b-a))]-S(x)|dx
<∫[a,b](ε/(b-a))
=ε ]
⇒ lim[n→∞]∫[a,b]S[n](x)dx=∫[a,b]S(x)dx
・・・⑧

よって、題意は示された。

(3)
T[n](x):=S'[n](x)、I=[a,b]、
T(x):=lim[n→∞]T[n](x)とする。
⑤,⑥,⑧より、
T[n](x)はI上で連続、かつ、
T[n](x)はI上でT(x)に一様収束
⇒T(x)はI上で各点連続
⇒T(x)はI上で積分可能
⇒∫[a,x]T(t)dt
=∫[a,x]lim[n→∞]T[n](t)dt
=lim[n→∞]∫[a,x]T[n](t)dt
=lim[n→∞](S[n](x)-S[n](a))
=S(x)-S(a) (∀x∈I)
⇒ T(x)=S'(x) (∀x∈I)
⇒ lim[n→∞]S'[n](x) (∀x∈I)
=(lim[n→∞]S[n](x))' (∀x∈I)

よって、題意は示された。

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