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a^3(b−c)+b^3(c−a)+c^3(a−b)

har********さん

2016/11/1817:39:30

a^3(b−c)+b^3(c−a)+c^3(a−b)

をすべての途中式ありで書いてくださいお願いします!

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haruka031_495さん

a³(b−c)+b³(c−a)+c³(a−b)

=(b−c)a³-(b³-c³)a+bc(b²-c²) ← a について整理

=(b−c){a³-(b²+bc+c²)a+bc(b+c)} ← 共通因数 b-c でくくる

=(b−c){(c-a)b²+(c²-ac)b-(ac²-a³)} ← b について整理

=(b−c){(c-a)b²+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)}

=(b−c)(c-a){b²+bc-a(c+a)} ← 共通因数 c-a でくくる

=(b−c)(c-a)(b-a){b+(c+a)}

=-(a+b+c)(a-b)(b−c)(c-a) ← 循環形にする


【別解】a と b を入れ替えると、符号が変わるから交代式。

よって (a-b)(b−c)(c-a) を因数に持つことがわかる。

a³(b−c)+b³(c−a)+c³(a−b) =f(x,y,z)(a-b)(b−c)(c-a)

と置ける。左辺は4次、(a-b)(b−c)(c-a)は3次だから

f(x,y,z)=k(a+b+c) (k:定数)

だとわかる。すなわち

a³(b−c)+b³(c−a)+c³(a−b) =k(a+b+c)(a-b)(b−c)(c-a)

(左辺の a³ の係数)=b-c

(右辺の a³ の係数)=-k(b-c)

∴k=-1

∴(与式)=-(a+b+c)(a-b)(b−c)(c-a)

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質問した人からのコメント

2016/11/19 10:03:53

別回やべえ..........ありがとうです!

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sch********さん

編集あり2016/11/1906:27:22

みなさんが書いてあるように
a^n*(a-b)+b^n*(b-c)+c^n*(c-a)

-(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持ちます。

ぜひ
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
a^2*(a-b)+b^2*(b-c)+c^2*(c-a)
a^4*(a-b)+b^4*(b-c)+c^4*(c-a)
もやってみてくださいね。


ついでに
ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
a^2*b^2*(a-b)+b^2*c^2*(b-c)+c^2*a^2*(c-a)
a^3*b^3*(a-b)+b^3*c^3*(b-c)+c^3*a^3*(c-a)
も、面白い問題です。
ぜひ挑戦してください。

kal********さん

2016/11/1903:56:31

a^3(b−c)+b^3(c−a)+c^3(a−b)
=-c(a^3-b^3)+ab(a^2−b^2)+c^3(a−b)
=(a-b)(-c(a^2+ab+b^2)+ab(a+b)+c^3)
=(a-b)(a^2(b-c)+a(b^2-bc)-c(b^2-c^2))
=(a-b)(b-c)(a^2+ab-c(b+c))
=(a-b)(b-c)(a+b+c)(a-c)

慣れれば速い。ただかなり天下り。

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