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0~5までの点数が書かれたカード36枚を2つに分けた時、点数の合計が同じにな...

hdfksjhgkjsdさん

2016/12/121:34:49

0~5までの点数が書かれたカード36枚を2つに分けた時、点数の合計が同じになる組み合わせを教えてください。

全部で36枚のカードがあります。

36枚には0~5までの点数が書かれたカードが35枚とマークが書かれたカードが1枚入っています。
36枚の内訳は以下です。

マークが1枚
5点が2枚
4点が3枚
3点が4枚
2点が5枚
1点が6枚
0点が15枚

これら36枚のカードをそれぞれ18枚ずつAとBの2つのグループに分配する時、Aグループの点数の合計が、Bグループの点数の合計と同じになる組み合わせをすべて教えてください。
なお、マークのカードがあるグループは、そのグループ内のすべての0点のカードを1点のカードとして扱います。

公式も含めてお教えいただけると助かります。
よろしくお願いします。

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2016/12/211:04:22

hdfksjhgkjsdさん

組み合わせはむちゃくちゃたくさんできそうな気がするので、たくさん答えが出そうになったら方針だけで終わりますね。

それとこんなもんは公式とかないよ。たんにいかに上手に数えるかというだけ。

カードの点数を単純に足すと
5点×2枚+4点×3枚+3点×4枚+2点×5枚+1点×6枚+0点×15枚
=10+12+12+10+6
=50
マークの入ったカードのおかげで0点のカードは1~15枚で1~15点となる可能性があるので合計点の可能性は50~64点となる。

AB二つの点数がおなじなんだから 二つの点数を合わせた合計得点は絶対に偶数となる。

50~64の範囲の偶数が総合計得点で、AB均等に割り振られるというのが、条件を満たす場合で探す場合となる。

んで、ちょっと考えたらわかるんですけどマークと0点が1枚も同じ組に入っていない50点とかを25点ずつに分けようと思ったら15枚の0点を持った組とマークのカードを持った組に分けないといけないんですけど、そうすると0点のカードを持った組の方が残り3枚で25点とか持たないといけなくなってしまいます。なので、この範囲の中でマークのカードの方にある程度1点が含まれる組み合わせしか成り立たないので、50~64までの偶数は8個ありますが、実際にはいくつかは、あっという間にあり得ないって消せちゃうので考えられる総合計得点はそこまで多くなかったりします。

50点が無理なのは上に書いた通り、64点となる場合も片方にマークと0点14枚の合計15枚が集まるので残り3枚で18点を取って片側の合計32点を作ることはできませんから無理です。
52点の場合も、片方の組の合計点数が26点、マークのカードと0点2枚、反対の組に0点13枚が入ることとなり、5枚で26点を取ることが不可能なのであり得ないことがわかります。
54点の場合も、片方の組の合計点数が27点、マークのカードと0点4枚、反対の組に0点11枚が入ることとなり、7枚で27点を取ることを考えます。
0点11枚、5点2枚、4点2枚、3点3枚で27点となりこれ以外の27点の取り方はありません。
A(マーク、4点1枚、3点1枚、2点5枚、1点6枚、0点4枚)
B(5点2枚、4点2枚、3点3枚)
という組み合わせが見つかりました。

56点の場合、片方の組が28点、マークのカードと0点8枚、反対の組に0点7枚が入ります。
マークと0点が合計9枚ある側は残り18点を9枚で作る必要があります。
その組み合わせを探していくと
5点が2枚、2点が1枚、1点が6枚
5点が1枚、4点が1枚、3点が1枚、1点が6枚
5点が1枚、4点が1枚、2点が2枚、1点が5枚
5点が1枚、3点が2枚、2点が1枚、1点が5枚
5点が1枚、3点が1枚、2点が3枚、1点が4枚
5点が1枚、2点が5枚、1点が3枚
4点が3枚、1点が6枚
4点が2枚、3点が1枚、2点が1枚、1点が5枚
4点が2枚、2点が3枚、1点が4枚
4点が1枚、3点が3枚、1点が5枚
4点が1枚、3点が2枚、2点が2枚、1点が4枚
4点が1枚、3点が1枚、2点が4枚、1点が3枚
4点が1枚、2点が4枚、1点が3枚
これ、各行が片方の組み合わせで残りはマークの入った方になりますが面倒なのでいちいち書かないですよ。


これと同じ検討を58点の時、60点の時、62点の時にすればいい。
50~64の中間の56点、58点、60点の時には結構解があるけど、それ以外の所では解はほとんと無いと思う。

また、大きい点のものが入れられるかどうかから検討していくと、3点のカードを1枚減らしてそれより下のカードで枚数を変えずに点数も買えないためには、
3点カード1枚=2点カード2枚-1点カード1枚
として2点を2枚増やして1点を1枚減らせばいい
4点カードを1枚減らすには、3点2枚増やして2点1枚増やせばいい。
ので、意外と組み合わせを一つ見つけてからは早いですよ。

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